Der Einsatz statistischer Gütekriterien bei der Ermittlung des Beta-Faktors für Zwecke der Unternehmensbewertung

3.2. Verfahren zur Bestimmung von Beta-Faktoren

Zur Ermittlung von Beta-Faktoren wird auf das Marktmodell nach Sharpe^[1] zurückgegriffen. Es stellt eine Umformulierung des CAPM dar und substituiert die nicht beobachtbaren erwarteten Renditen durch historische Kapitalmarktdaten. In Form einer statistischen univariaten Regressionsanalyse wird hierbei ein linearer Zusammenhang zwischen der Rendite der Anlage i und der Kapitalmarktrendite angenommen:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten ^{[2] [3]}

Der Beta-Faktor bildet den Regressionskoeffizienten der Regressionsgleichung ab. Das Marktportfolio wird durch einen geeigneten Aktienindex und die risikofreie Anlage durch eine quasi-risikofreie Staatsanleihe approximiert. Als Basis zur Ermittlung der gesuchten Regressionsgerade (die zu ermittelnden und als konstant angenommenen Parameter sind αi und βi) dienen historische Renditen der Anlage i und des verwendeten Aktienindexes m in jeder Periode t. Zur Kalkulation der gesuchten Parameter wird die Ordinary Least Squares Methode (OLS-Methode) angewendet, d.h. es wird die Regressionsgerade gesucht, die die Summe der quadrierten Abweichungen minimiert und somit den Zusammenhang der Variablen ri,t und rm,t am besten approximiert.^[4] Der wahre Wert ri,t unterscheidet sich von dem durch die Regressionsgleichung ermittelten Schätzwert in Höhe des statistischen Fehlers εi,t. Gesucht werden somit die Alpha- und Beta-Werte die den folgenden Ausdruck minimieren:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten^[5]

Durch Bilden und null Setzen der ersten partiellen Ableitung der Gleichung (4) nach bzw. ergibt sich ein Gleichungssystem dessen Auflösung zu folgendem Ergebnis führt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

und

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

(aus historischen Kapitalmarktdaten).^[6]

Die Formel des Beta-Faktors entspricht der Kovarianz der Renditewerte der Anlage i und der Renditewerte des Marktportfolios im Verhältnis zu der Varianz der Renditewerte des Marktportfolios (entsprechend Formel (2), basierend auf historischen Kapitalmarktdaten). Der ermittelte Beta-Faktor wird als über den Zeitablauf konstant angenommen.^[7]

Für nicht börsennotierte Unternehmen liegen folglich keine Renditewerte einer zugehörigen Anlage vor. Die Erhebung des Beta-Faktors basiert hier auf einer Peer-Group-Analyse. Dazu werden die Beta-Faktoren von vergleichbaren börsennotierten Unternehmen ermittelt und unter Berücksichtigung von Anpassungsmaßnahmen ein Durchschnitts-Beta-Faktor gebildet.^[8]

3.3. Determinanten des Beta-Faktors

Um den Beta-Faktor auf Basis des Regressionsmodells zu ermitteln, müssen die notwendigen Parameter bewertungsindividuell festgelegt werden. Die Rechnungslegungsstandards bieten für die Praxis nur eine Orientierungshilfe und lassen Freiräume des eigenen Ermessens bestehen.^[9] Diese Handlungsspielräume können zu Verzerrungen des wahren Wertes des Beta-Faktors führen. Einen Einfluss auf den zu ermittelnden Wert haben insbesondere die Wahl des Vergleichsindexes, des Erhebungszeitraums und des Beobachtungsintervalls.^[10]

Das theoretisch umfassende Marktportfolio kann in der Praxis nur annähernd durch einen Referenzindex dargestellt werden. Für eine möglichst akkurate Approximation des Marktportfolios eignen sich breite Aktienindizes, die die Beschaffenheit des Gesamtmarktes annähernd wiederspiegeln können.^[11] Im Rahmen dieser Entscheidung muss festgelegt werden, ob ein nationaler oder internationaler Index verwendet wird.^[12] Aus Gründen der statistischen Relevanz sollte bei dieser Entscheidung die Investorenperspektive beachtet werden.^[13] Bei der Wahl des Referenzindexes wird dann das Investment-Opportunity-Set^[14] (IOS) der relevanten Investoren des Bewertungsobjekts mit einbezogen.^[15] Ein Argument für einen nationalen Index kann das sogenannte „home bias“, die Neigung der Investoren vorwiegend in nationale Anlagemöglichkeiten zu investieren, sein.^[16] Problematisch für dieses Vorgehen sind Bewertungsobjekte, dessen Investoren sehr unterschiedliche IOS zuzuordnen sind. Wird dann auf einen breiten Aktienindex ausgewichen, kann das tatsächliche Anlageverhalten der einzelnen Investoren nicht adäquat repräsentiert werden.^[17] Die Wahl des Referenzindexes ist daher abhängig vom Bewertungsobjekt und dessen Investorenstruktur.

Neben der Wahl des Referenzindexes spielen der Erhebungszeitraum der Renditeentwicklungen sowie die Periodizität, d.h. die Erhebungsintervalle der Renditen innerhalb des Beobachtungszeitraums, eine entscheidende Rolle. Aus statistischer Sicht ist ein hoher Stichprobenumfang, also lange Erhebungszeiträume und kurze Erhebungsintervalle, zu befürworten. So können Konjunktur- und kurzfristige Kurseffekte sowie auf Sonderereignissen beruhende Wertveränderungen relativiert werden. Dagegen spricht, dass Strukturbrüche (z. B. Marktkrisen oder Überhitzungsphasen) in langen Zeitreihen in die Zukunftsprognose mit einbezogen werden und dies zu Verzerrungen führen kann.^[18] In der Praxis werden häufig tägliche Renditen in einem Ein-Jahres-Zeitraum erhoben. Dies entspricht dem akademischen Standarddesign und dem Vorgehen der Deutschen Börse. Üblich sind auch Zeiträume von fünf Jahren in Verbindung mit einer monatlichen Erhebung der Renditen und zwei Jahre auf Basis wöchentlicher Renditeerhebungen.^[19] In der Literatur werden daher mehrere Beta-Schätzungen basierend auf verschiedenen Zeiträumen und Zeitintervallen sowie die Berücksichtigung qualitativer Faktoren empfohlen.^[20]

Zusätzlich zu den Prognoseschiefen, die durch die genannten Gestaltungsmöglichkeiten bedingt sind, können Beta-Werte durch andere Effekte verzerrt werden, z.B. durch:

- Währungseffekte bei Wechselkursschwankungen^[21],
- Kursadjustierungen,
- Verwendung verschiedener Korrekturfaktoren bei der Anpassung der auf Basis historischer Kapitalmarktdaten ermittelter Beta-Faktoren an künftige Gegebenheiten (z.B. Adjusted Beta nach Blume),
- Unterschiedliche Behandlung von Ausreißern bei der Mittelwertbildung mehrerer Beta-Faktoren oder bei Peer-Group-Analysen.^[22]

Aus der unterschiedlichen Wahl der Parameter resultieren verschiedene Beta-Werte, die zum Teil zu erheblichen Differenzen in der Bestimmung des Unternehmenswertes führen können.^[23] Daher empfiehlt sich die Überprüfung der Güte eines ermittelten Beta-Faktors. Der qualitativen Beurteilung der Beta-Faktoren werden quantitative Methoden als Filter- oder Ausschlusskriterien vorgeschaltet.^[24] Im folgenden Kapitel werden die geläufigsten statistischen Verfahren zur Beurteilung der Güte des Beta-Faktors erläutert und bewertet.

4. Statistische Verfahren zur Beurteilung der Güte des Beta-Faktors

4.1. Das Bestimmtheitsmaß R²

4.1.1. Das statistische Modell des Bestimmtheitsmaßes

In der statistischen Methodenlehre kann das Bestimmtheitsmaß R² für die globale Prüfung der Regressionsfunktion auf ihre Güte verwendet werden. Mit diesem Verfahren wird das Ausmaß der Fähigkeit des betrachteten Regressionsmodells getestet, die abhängige Variable zu erklären. Diese Messung zeigt rein statistische Zusammenhänge auf Basis der verwendeten Datenstichprobe an, eine inhaltliche Interpretation des Zusammenhangs der betrachteten Variablen bietet das Modell nicht.^[25]

Das Bestimmtheitsmaß ist mathematisch durch den folgenden Ausdruck definiert:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten^[26]

Im Zähler werden die durch das Regressionsmodell ermittelten Werte für die abhängige Variable (Schätzwerte) betrachtet. Der Dividend zeigt die Summe der quadrierten Abweichungen des Schätzwertes zu dem Mittelwert der wahren Werte (Stichprobenwerte). Im Nenner ist die Varianz der Stichprobenwerte angegeben. Das Bestimmtheitsmaß gibt also an, wie viel Prozent der Streuung der tatsächlichen Gesamtstreuung von dem verwendeten Regressionsmodell erklärt wird.^[27]

Für das Bestimmtheitsmaß gilt: . Nimmt R² den Wert eins an, deutet dies auf eine perfekte statistische Erklärung hin. Bei dem Wert null, kann das geprüfte Regressionsmodell die abhängige Variable statistisch nicht erklären.^[28] Beispielsweise erklärt das Modell bei einem Bestimmtheitsmaß von , 60% der Gesamtstreuung der Stichprobe. Die verbleibenden 40% ( ) der Gesamtstreuung in der Stichprobe werden durch andere, in der angesetzten Regressionsgleichung unberücksichtigte, Faktoren determiniert.^[29]

Geringe R²-Werte beziehen sich jedoch nicht immer auf den Erklärungsgehalt der gewählten Faktoren, sondern können auch eine falsche Struktur der Regressionsgleichung anzeigen (z.B. ist der Zusammenhang der betrachteten Variablen nicht linear sondern exponentiell bestimmt). Diese Problematik wird dadurch verursacht, dass die Güte der gesamten (globalen) Regressionsgleichung betrachtet wird, nicht nur die einzelner Faktoren.^[30]

4.1.2. Das Bestimmtheitsmaß als Gütekriterium für den Beta-Faktor

In dem Marktmodell nach Sharpe ist die abhängige Variable des Regressionsmodells die Rendite der Anlage i und die erklärende Variable der Referenzindex, der das Marktportfolio widerspiegelt.^[31] Bei der Berechnung des Bestimmtheitsmaßes wird die Streuung der über die Regressionsfunktion ermittelten Renditen der Anlage i (Schätzwerte) ins Verhältnis zu der Streuung der wahren Renditewerte, die aus den historischen Kapitalmarktdaten (Stichprobe) vorliegen, gesetzt (Formel (8)).^[32]

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Hohe R²-Werte deuten daraufhin, dass die Regressionsfunktion die konkret beobachtbaren Daten aus der Stichprobe approximieren kann.^[33] Ist das Bestimmtheitsmaß zu gering, wird daraus geschlossen, dass der Beta-Faktor den Zusammenhang zwischen der Entwicklung der Marktrendite und der Aktienrendite der Anlage i nicht hinreichend genau abbilden kann.^[34] In der Praxis der Unternehmensbewertung werden Beta-Faktoren mit niedrigen R²-Werten ausgeschlossen, da daraus gefolgert wird, dass der ermittelte Beta-Faktor keine ausreichende Aussagekraft hat.^[35]

Diese Schlussfolgerung gilt aber nur, da die Linearität des Zusammenhangs als Grundannahme des CAPM als gegeben gilt. Da die Form des Zusammenhangs der Marktrendite und der Rendite einer Anlage als bekannt vorausgesetzt wird, können geringe R²-Werte nicht als Fehlspezifikation des Modells^[36] interpretiert werden.^[37]

Die Ausprägung des Bestimmtheitsmaßes ist jedoch nicht ausschließlich von der Güte des Beta-Faktors abhängig, sondern kann durch andere Ursachen beeinflusst werden. Da das Bestimmtheitsmaß nicht einzelne Parameter sondern die Regressionsfunktion in ihrer Gesamtheit prüft, können niedrige Werte des Bestimmtheitsmaßes ein Hinweis dafür sein, dass nicht der Beta-Faktor fehlerhaft ist, sondern die erklärende Variable.^[38] Entweder kann der Referenzindex das Marktportfolio nicht genau genug approximieren oder die Renditeentwicklung der betrachteten Anlage i ist weitgehend unabhängig von der Entwicklung des Marktes.^[39] Beispielsweise zeigt ein R² von 10% auf, dass 90% der Streuung nicht durch das angesetzte Modell erklärt werden können. Das heißt, 90% der Variation der Renditeentwicklung der Anlage i werden durch unsystematische, vom Markt unabhängige Ereignisse hervorgerufen.^[40] Der geringe R²-Wert gibt vor diesem Hintergrund somit keinen Hinweis darauf, dass der Beta-Faktor fehlerhaft ist. Anlagen dessen Renditen sich weitgehend unabhängig vom Markt entwickeln und somit geringen relativen systematischen Risiken unterliegen, sind aus betriebswirtschaftlicher Sicht möglich.^[41] Ein Mindestwert für das Bestimmtheitsmaß bzw. eine Festlegung des R²-Wertes, ab wann ein Beta-Faktor verworfen werden sollte, ist aus der Logik des CAPM nicht begründbar.^[42]

Diese Argumentation wird dadurch gestützt, dass das Bestimmtheitsmaß nicht unabhängig von der Größe des Beta-Faktors ist (gilt für den Fall univariater linearer Regressionen):

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten^[43]

Der Beta-Faktor wird in der Praxis der Unternehmensbewertung abgelehnt, wenn der Wert des Bestimmtheitsmaßes als zu klein erachtet wird.^[44]

Die Gleichung (9) zeigt aber: Je kleiner der Beta-Faktor ist, desto kleiner ist das Bestimmtheitsmaß. Die Varianz der Renditen des Marktportfolios ist für alle Anlagen konstant. Wenn die Renditen der Anlage i bei Bewertungsobjekten mit geringen Beta-Faktoren nicht nur geringfügig streuen, zeigt das Bestimmtheitsmaß im Ergebnis geringe Werte an.^[45]

Beta-Faktoren aufgrund geringer R²-Werte zu verwerfen, erscheint vor diesem Hintergrund nicht sachgerecht. Das Bestimmtheitsmaß ist als Güte- und Ausschlusskriterium für Betafaktoren somit kritisch zu betrachten.^[46]

4.2. Der T-Test

4.2.1. Das statistische Modell des T-Tests

Mit Hilfe des T-Tests wird eine Hypothese über die Grundgesamtheit auf der Grundlage einer Stichprobe überprüft. Die zu testende Hypothese wird als Gegenhypothese (Alternativhypothese H1) formuliert. Sie wird angenommen, wenn ihre konträre Hypothese (Nullhypothese H0) verworfen werden kann.^[47] Der T-Test zeigt an, ob unter der Annahme, dass die Nullhypothese wahr ist, die aus der Stichprobe ermittelten Werte gegen die Richtigkeit der Nullhypothese sprechen.^[48]

Die Logik des T-Tests basiert auf Wahrscheinlichkeitsverteilungen von Zufallsvariablen. Werden unendlich viele Stichproben gezogen, aus denen jeweils der unbekannte Parameter der Grundgesamtheit geschätzt wird, variieren diese Werte aus Zufallsgründen. Die geschätzten Parameterwerte können als Zufallsvariablen interpretiert werden, die mit einem hinreichend großen Stichprobenumfang annähernd um den wahren Wert der Grundgesamtheit normal verteilt sind.^[49] Die Fläche unter der Kurve einer Normalverteilung repräsentiert die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Schätzwerte.^[50] Wird ein symmetrisches Intervall um den Mittelwert gelegt, kann interpretiert werden, dass in der Fälle einer Stichprobenziehung Werte ermittelt werden, die innerhalb der zugehörigen Grenzen liegen (Abbildung 1.).^[51]

Abbildung 1: Beispiel einer Normalverteilung

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Quelle: Eigene Darstellung, vgl. Kohn, W. (2005), S. 273.

Je höher die Abweichung eines Schätzwertes zum erwarteten Wert ist, desto geringer ist die Wahrscheinlichkeit, dass er auf Basis einer Stichprobe ermittelt wird (z.B. werden nur in der Fälle Werte außerhalb der Intervallgrenzen geschätzt). Ist der auf Basis einer Stichprobe ermittelte Wert ein seltener Schätzwert (bzw. liegt er außerhalb der Intervallgrenzen), kann interpretiert werden, dass es unwahrscheinlich wäre ihn zu erhalten, wenn er annähernd dem wahren Wert aus der Grundgesamtheit entsprechen würde.^[52] Der T-Test prüft nun, ob der ermittelte Wert außerhalb des Intervalls zu einem Signifikanzniveau liegt. Ist das der Fall, wird die Nullhypothese verworfen und die Alternativhypothese angenommen.^[53]

Die Berechnung der Intervallgrenzen zu einem festgelegten Signifikanzniveau ist mathematisch nur mit Näherungsverfahren der numerischen Mathematik möglich, da für die Normalverteilung keine Stammfunktion existiert.^[54] Daher werden die Intervallgrenzen zu einem festgelegten Signifikanzniveau für die Standardnormalverteilung bestimmt. Die Prüfgröße (der geschätzte Parameterwert) wird entsprechend in eine standardnormalverteilte Zufallsvariable z-transformiert (Standardisierung):

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten^[55]

Ist die Varianz bekannt, folgt die z-transformierte Variable wieder einer Normalverteilung, ist sie es nicht, muss die Varianz auf Basis der Stichprobe geschätzt werden.^[56] Da die geschätzte Varianz einen weiteren Verzerrungsfaktor darstellt, ist das Auftreten von Extremwerten wahrscheinlicher als bei bekannter Varianz. Der z-transformierten Zufallsvariable wird daher anstatt der Standardnormalverteilung eine t-Verteilung unterstellt.^[57] Da die Flächen unter der Kurve für große und kleine Werte (Extremwerte) größer sind als bei der Standardnormalverteilung, repräsentieren sie eine höhere Wahrscheinlichkeit Extremwerte zu erhalten (Abbildung_2).

Abbildung 2: Vergleich einer T-Verteilung mit der Standardnormalverteilung

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Quelle: Eigene Darstellung, vgl. Bortz, J./Schuster, C. (2010), S. 75.

Die Verteilung der Parameterschätzwerte bei unendlicher Stichprobenziehung kann durch die t-Verteilung daher besser approximiert werden.^[58] T-Verteilungen sind symmetrisch um den Mittelwert 0 und unterscheiden sich durch die Anzahl ihrer Freiheitsgrade.^[59],^[60] Mit steigender Anzahl der Freiheitsgrade tendiert die t-Verteilung gegen eine Standardnormalverteilung.^[61],^[62] Daher wird der Ausdruck (10) wie folgt umformuliert:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten^[63]

Dieser Wert wird auch als empirischer T-Wert temp bezeichnet. Der entsprechende Ablehnungsbereich wird anhand der t-Verteilung wie folgt bestimmt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten^[64]

Der tabellarische T-Wert zeigt einen Wert auf der x-Achse der Dichtefunktion einer t-Verteilung mit v Freiheitsgraden an.^[65] Er lässt sich mit Hilfe von Statistik-Software oder anhand von Tabellen der t-Verteilung bestimmen (siehe Anhang). Für diese Ermittlung wird die Anzahl der Freiheitsgerade v sowie die Irrtumswahrscheinlichkeit benötigt.^[66]

Liegt der empirische T-Wert innerhalb des Ablehnungsbereichs wird die Nullhypothese verworfen und die Alternativhypothese auf einem Signifikanzniveau von als wahr klassifiziert. Zusammengefasst wird die Nullhypothese verworfen, wenn folgendes gilt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten^[67]

Bei dieser Variante des T-Tests (zweiseitig) wird das Ziel verfolgt, Hypothesen zu prüfen, bei denen die Abweichungen des Sollwerts sowohl nach oben als auch nach unten eine Rolle spielen. Ist für die Fragestellung nur eine Grenze relevant (z.B. die Problematik, dass der zu schätzende Parameter kleiner (rechtsseitiger Test) als ein bestimmter Wert ist), werden einseitige Tests verwendet.^[68] Bei einseitigen T-Tests wird die Nullhypothese verworfen, wenn folgendes gilt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten^[69]

Der Vorteil einseitiger Hypothesentests ist eine höhere Teststärke, d.h. die Wahrscheinlichkeit eine falsche Nullhypothese zu verwerfen ist größer. Bei zweiseitigen Tests wird erst bei einem höheren empirischen T-Wert von der Richtigkeit der Alternativhypothese ausgegangen, da das Signifikanzniveau auf beide Seiten aufgeteilt wird. Die Wahrscheinlichkeit eine falsche Nullhypothese zu verwerfen ist dadurch geringer.^[70]

Bei dem T-Test können zwei Arten von Fehlern auftreten:

- Die Nullhypothese wird verworfen obwohl sie wahr ist: Alpha-Fehler oder Fehler 1. Art.
- Die Nullhypothese wird angenommen, obwohl sie falsch ist: Beta-Fehler oder Fehler 2. Art.^[71]

Die Wahrscheinlichkeit des Fehlers 1. Art entspricht der Irrtumswahrscheinlichkeit und die des Beta-Fehlers ( ).^[72] Da es nicht möglich ist beide Fehlerwahrscheinlichkeiten gering zu halten, wird in klassischen Signifikanztests der Fokus auf die Vermeidung von Alpha-Fehlern gelegt.^[73] Gebräuchliche Signifikanzniveaus sind Alpha-Werte von 1%, 5% oder 10%.^[74].

4.2.2. Der T-Test als Gütekriterium für den Beta-Faktor

Mit dem T-Test kann die Güte der einzelnen Regressionskoeffizienten einer Regression überprüft werden. Im vorliegen Fall entspricht der Regressionskoeffizient dem ermittelten Beta-Faktor.^[75] Es wird getestet, ob der auf Basis der Stichprobe geschätzte Beta-Faktor statistisch signifikant von einem bestimmten Wert (z.B. dem wahren Beta-Faktor auf Basis der Grundgesamtheit) abweicht, d.h. H0: .^[76] Der wahre Wert des Beta-Faktors ist nicht beobachtbar. Im Regelfall wird daher getestet ob der Beta-Faktor statistisch signifikant von null verschieden ist.^[77] Die Nullhypothese wird entsprechend entgegen der Annahme formuliert, d.h. H0: = 0.^[78]

Stimmt die Nullhypothese für die Grundgesamtheit, ist aus statistischer Sicht auch ein empirischer T-Wert von null oder annäherungsweise null zu erwarten. Weicht der empirische T-Wert stark von null ab, ist es unwahrscheinlich, dass die Nullhypothese korrekt ist.^[79] Somit kann davon ausgegangen werden, dass der wahre Regressionskoeffizient einen von null verschiedenen Wert annimmt und ein Zusammenhang zwischen der erklärenden Variable und der getesteten Variable in der Grundgesamtheit besteht. Dieser Zusammenhang wird durch den Beta-Faktor angezeigt.^[80]

Ökonomisch würde ein Beta-Faktor von null bedeuten, dass die Renditeentwicklung des Marktportfolios keinen Einfluss auf die beschreibende Variable Renditeentwicklung der betrachteten Anlage hat.^[81] Wird die Theorie des CAPMs vorausgesetzt, erscheint ein nicht signifikant von null verschiedener Beta-Faktor als eher unwahrscheinlich. Wird die Nullhypothese verworfen, wird in der Praxis der Unternehmensbewertung daraus gefolgert, dass der Beta-Faktor verwendet werden darf.^[82]

Der empirische T-Wert wird auf Basis der Gleichung (11) ermittelt, da die benötigte Standardabweichung des Beta-Faktors geschätzt werden muss:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten^[83]

Die unbekannte Varianz des Regressionskoeffizienten wird durch folgende Formel dargestellt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten^[84]

Dieser Term setzt sich aus dem quadrierten Standardfehler der Regression (Zähler des ersten Terms)^[85] und aus der Varianz der erklärenden Variablen (Nenner des ersten Terms) zusammen. Die Wurzel dieser der geschätzten Varianz des Regressionskoeffizienten ergibt den gesuchten Standardfehler des geschätzten Beta-Faktors.^[86]

Die Grenzen des Ablehnungsbereichs werden gemäß Formel (12) für das gewünschte Signifikanzniveau und die Freiheitsgrade v = 2 bestimmt. Die Anzahl der Freiheitsgrade v ergibt sich als Differenz des Stichprobenumfangs n und der Anzahl der Regressionskoeffizienten j (bzw. Anzahl der unbekannten Parameter) in der Regressionsgleichung (in diesem Fall j = 2, da die Regressionskoeffizienten und geschätzt werden müssen).^[87]

In der Praxis wird in der Regel ein Signifikanzniveau in Höhe von 5% gewählt.^[88] Da der Beta-Faktor laut seiner Definition (Gleichung (2)) sowohl positive als auch negative Werte annehmen kann ist aus statistischer Sicht ein zweiseitiger Test durchzuführen.^[89] Um die Teststärke zu erhöhen, kann ein einseitiger Test (Nullhypothese H0: ) nur durchgeführt werden, wenn von einem positiven Beta-Faktor ausgegangen werden kann. Da dies nicht für alle Fälle vorausgesetzt werden darf, kann eine solche Vorgehensweise jedoch zu Fehlinterpretationen führen.^[90] Wird die Nullhypothese bei einem einseitigen Test nicht verworfen, gilt die Aussage, dass der ermittelte Beta-Faktor nicht signifikant von null verschieden ist nicht. Er kann signifikant von null verschieden sein, falls er negativ ist.

[...]

^[1] Vgl. Sharpe, W. F. (1963), S. 281.

^[2] Ökonomisch wird dieser Term auch als „Durchschnitt der beobachteten unsystematischen Periodenrenditen“ (Knoll, L. (2010), S. 1107) interpretiert.

^[3] Vgl. Franken L./Jörn, S. (2010), S. 1111.

^[4] Vgl. Kern, C./Mölls, S. H. (2010), S. 441.

^[5] Vgl. Grottke, M. (1998), S. 2.

^[6] Vgl. Zimmermann, P. (1997), S. 65-66.

^[7] Vgl. Wüstemann, J., (2012), S. 1721.

^[8] Vgl. Großfeld, B./Stöver, R. (2004), S. 2808.

^[9] Vgl. Dörschell, A/Franken, L./Schulte, J./Brütting, C. (2008), S. 1152-1153.

^[10] Vgl. Stellbrink, J./Brückner, C. (2011), S. 2.

^[11] Vgl. Kleeberg, J. M. (1991), S. 60 und S. 68 und Knoll, L. (2005), S. 177.

^[12] Vgl. Watrin, C./Stahlberg, G./Kappenberg, C. (2011), S.177;

^[13] Vgl. Heinze, W./Radinger, G. (2011), S. 51.

^[14] Das IOS umfasst die von einem Anleger betrachteten Investitionsmöglichkeiten.

^[15] Vgl. Spremann, K. (2006), S. 246.

^[16] Vgl. Dörschell, A/Franken, L./Schulte, J./Brütting, C. (2008), S. 1158.

^[17] Vgl. Dörschell, A/Franken, L./Schulte, J./Brütting, C. (2008), S. 1157.

^[18] Vgl. Kruschwitz, L./Löffler, A. (2008), S. 807.

^[19] Vgl. Heinze, W./Radinger, G. (2011), S. 50, Dörschell, A/Franken, L./Schulte, J./Brütting, C. (2008), S. 1156, Kruschwitz, L./Löffler, A. (2008), S. 808.

^[20] Vgl. Dörschell, A/Franken, L./Schulte, J./Brütting, C. (2008), S. 1156.

^[21] Vgl. Dörschell, A/Franken, L./Schulte, J./Brütting, C. (2008), S. 1162.

^[22] Vgl. Kern, C./Mölls, S. H. (2010), S. 444-446.

^[23] Vgl. Zimmermann, P. (1997), S. 81.

^[24] Vgl. Dörschell, A/Franken, L./Schulte, J./Brütting, C. (2008), S. 1159.

^[25] Vgl. Franken, L/Schulte, J. (2010), S. 1112.

^[26] Vgl. Fahrmeir, L./Kneib, T./Lang, S. (2009), S. 98.

^[27] Vgl. Kurz-Kim, J./Loretan, M. (2007), S. 8.

^[28] Vgl. Dörschell, A/Franken, L./Schulte, J./Brütting, C. (2008), S. 1159.

^[29] Vgl. Franken, L/Schulte, J. (2010), S. 1112.

^[30] Vgl. Fahrmeir, L./Kneib, T./Lang, S. (2009), S. 98.

^[31] Vgl. Sharpe, W. F. (1963), S. 281.

^[32] Vgl. Dörschell, A/Franken, L./Schulte, J./Brütting, C. (2008), S. 1159.

^[33] Vgl. Fahrmeir, L./Kneib, T./Lang, S. (2009), S. 98.

^[34] Vgl. Dörschell, A/Franken, L./Schulte, J./Brütting, C. (2008), S. 1159.

^[35] Vgl. Knoll, L./Ehrhardt, J./Bohnet, F. (2007), S. 210.

^[36] Wäre die Linearität nicht vorausgesetzt, könnten niedrige R²-Werte auch daraus resultieren, dass ein Zusammenhang in anderer Form (z.B. exponentiell) besteht.

^[37] Vgl. Fahrmeir, L./Kneib, T./Lang, S. (2009), S. 98.

^[38] Vgl. Fahrmeir, L./Künstler, R./Pigeot, I./Tutz, G. (2007), S. 498.

^[39] Vgl. Dörschell, A/Franken, L./Schulte, J./Brütting, C. (2008), S. 1160.

^[40] Vgl. Franken, L/Schulte, J. (2010), S. 1112.

^[41] Vgl. Knoll, L./Ehrhardt, J./Bohnet, F. (2007), S. 213 (Fußnote 17) und Knoll, L. (2005), S. 177.

^[42] Vgl. Franken, L/Schulte, J. (2010), S. 1112.

^[43] Vgl. Knoll, L./Ehrhardt, J./Bohnet, F. (2007), S. 211.

^[44] Vgl. Knoll, L. (2010), S. 1107.

^[45] Vgl. Knoll, L./Ehrhardt, J./Bohnet, F. (2007), S. 211.

^[46] Vgl. Franken, L/Schulte, J. (2010), S. 1112.

^[47] Vgl. Kern, C./Mölls, S. H. (2010), S. 446.

^[48] Vgl. Kohn, W. (2005), S. 379.

^[49] Vgl. Schneeweiß, H. (1990), S. 59 und S. 62, Backhaus, K./Erichson, B./Plinke, W./Weiber, R. (2008), S. 72, Kohn, W. (2005), S. 318 und Fahrmeir, L./Künstler, R./Pigeot, I./Tutz, G. (2007), S. 293-294.

^[50] Vgl. Urban, D./Mayerl, J. (2011), S. 135.

^[51] Vgl. Sachs, L./Hedderich, J. (2006), S. 148.

^[52] Vgl. Urban, D./Mayerl, J. (2011), S. 134.

^[53] Vgl. Fahrmeir, L./Künstler, R./Pigeot, I./Tutz, G. (2007), S. 413.

^[54] Vgl. Auer, B./Rottmann, H. (2010), S. 272.

^[55] Vgl. Sachs, L./Hedderich, J. (2006), S. 276-277.

^[56] Vgl. Auer, B./Rottmann, H. (2010), S. 361.

^[57] Vgl. Urban, D./Mayerl, J. (2011), S. 147.

^[58] Vgl. Auer, B./Rottmann, H. (2010), S. 280.

^[59] Die Freiheitsgrade determinieren die Standardabweichung einer t-Verteilung.

^[60] Vgl. Sachs, L./Hedderich, J. (2006), S. 212

^[61] Ab v=30 Freiheitsgraden gilt die t-Verteilung als annähernd standardnormalverteilt.

^[62] Vgl. Fahrmeir, L./Künstler, R./Pigeot, I./Tutz, G. (2007), S. 304.

^[63] Vgl. Winkler, P. (2010), S. 151-152.

^[64] Vgl. Fahrmeir, L./Künstler, R./Pigeot, I./Tutz, G. (2007), S. 436.

^[65] Vgl. Kohn, W. (2005), S. 383.

^[66] Vgl. Urban, D./Mayerl, J. (2011), S. 156.

^[67] Vgl. Kohn, W. (2005), S. 383.

^[68] Vgl. Fahrmeir, L./Künstler, R./Pigeot, I./Tutz, G. (2007), S. 413.

^[69] Vgl. Sachs, L./Hedderich, J. (2006), S. 353.

^[70] Vgl. Urban, D./Mayerl, J. (2011), S. 150-151.

^[71] Vgl. Kern, C./Mölls, S. H. (2010), S. 446.

^[72] Vgl. Sachs, L./Hedderich, J. (2006), S. 308.

^[73] Vgl. Sachs, L./Hedderich, J. (2006), S. 309.

^[74] Vgl. Winkler, P. (2010), S. 148.

^[75] Vgl. Dörschell, A/Franken, L./Schulte, J./Brütting, C. (2008), S. 1160.

^[76] Vgl. Backhaus, K./Erichson, B./Plinke, W./Weiber, R. (2008), S. 76.

^[77] Vgl. Zimmermann, P. (1997), S. 70.

^[78] Vgl. Backhaus, K./Erichson, B./Plinke, W./Weiber, R. (2008), S. 76.

^[79] Vgl. Urban, D./Mayerl, J. (2011), S. 133.

^[80] Vgl. Schneeweiß, H. (1990), S. 69.

^[81] Vgl. Stellbrink, J./Brückner, C. (2011), S. 3.

^[82] Vgl. Franken, L./Schulte, J. (2010), S. 1113.

^[83] Vgl. Winkler, P. (2010), S. 147.

^[84] Vgl. Urban, D./Mayerl, J. (2011), S. 146.

^[85] Die Korrektur von n um minus zwei in dem Term des Standardfehlers der Regression wird aus Verzerrungsgründen durchgeführt (vgl. Urban, D./Mayerl, J. (2011), S. 146). Der Term (n-2) kann auch als Anzahl der Freiheitsgrade des Regressionsmodells interpretiert werden (vgl. Winkler, P. (2010), S. 151).

^[86] Vgl. Urban, D./Mayerl, J. (2011), S. 146.

^[87] Vgl. Urban, D./Mayerl, J. (2011), S. 147.

^[88] Vgl. Stellbrink, J./Brückner, C. (2011), S. 3.

^[89] Vgl. Dörschell, A/Franken, L./Schulte, J./Brütting, C. (2008), S. 1160.

^[90] Vgl. Bortz, J./Schuster, C. (2010). S. 105