Die Fuzzy-Logik in der Mehrzielentscheidung

3.1.1 Electre

Das älteste Outrankingverfahren das Electreverfahren^[1], ist auf die Idee von Benayoun, Roy und Süßmann zurückzuführen.^[2] „Der Vergleich soll feststellen, inwieweit Bewertungen der Alternativen und der Präferenzgewichte der Aussage zustimmen oder widersprechen, dass eine Alternative die andere dominiert.“^[3] Dem Verfahren liegt die Annahme zu Grunde, dass der ET nur verbale Aussagen über Beziehungen zwischen Alternativen treffen kann. Hierbei ist er nur in der Lage zu beschreiben, dass z.B. Alternative „A sehr viel besser ist als B“, oder „A wenig besser ist als B“. Aus diesen Aussagen werden mit Hilfe des Electre-Verfahrens Hypothesen bezüglich der Präferenzvorstellungen der Alternativen abgeleitet. Im Nachgang werden hieraus Outranking-Relationen bestimmt, die zu einem gewissen Grad mit Ungenauigkeiten, Abweichungen und Widersprüchen behaftet sind. Deshalb werden sowohl festgelegte Konkordanz- als auch Diskordanz-Schwellenwerte benötigt. Hieraus lassen sich nun Interpretationen über Dominanzbeziehungen zwischen den Alternativen identifizieren.^[4] Zur Analyse der Dominanzbeziehungen zwischen den Alternativen werden spezielle Konkordanz- und Diskondanzmengen definiert.^[5]

Zimmermann und Gutsche (1991) definieren den Ablauf des Verfahrens in neun Unterpunkten.^[6] Im ersten Verfahrensschritt werden in einer Matrix zunächst normierte Zielerreichungsgrade mit den Kriterienausprägungen definiert. Hierbei können sowohl Maximierungs- als auch Minimierungskriterien berücksichtigt werden.^[7] Die normierten Zielerreichungsgrade werden im zweiten Schritt mit dem gegeben Gewichtsvektor multipliziert. Hierbei ergibt sich die gewichtete, normierte Zielerreichungsmatrix . Der gegeben Gewichtsvektor beinhaltet die Präferenzen der Kriterien untereinander. Die Daten der Zielerreichungsmatrix werden erst im fünften Schritt wieder benötigt.^[8]

Um die Alternativen vergleichen zu können, werden sie im dritten Schritt paarweise geordnet. Hierzu werden die Alternativenpaare und sogenannten Konkordanz- bzw. Diskonkordanz-Mengen zuordnet. Die Konkordanzmenge enthält dabei alle Kriterien, in denen mindestens so gut ist wie . Die komplementäre Diskordanzmenge beinhaltet die übrigen Kriterien, in denen schlechter ist als die Alternative .^[9] Im vierten Verfahrensschritt wird zunächst die Konkordanz-Matrix konstruiert. Hierbei werden die Kriteriengewichte der Konkordanzmenge normiert und summiert. Der Konkordanzindex ist ein Ausdruck der gewichteten Häufigkeit der Dominanz der über die Alternative (siehe Gleichung 1).

(Gleichung 1)

Durch die Normierung sind die Indizes auf das Intervall beschränkt. Großen Konkordanzwerten () nahe oder gleich 1 verdeutlichen, dass die Alternative der Alternative gegenüber bevorzugt wird.

Im Kontrast hierzu sollen die Diskordanzindizes im fünften Schritt aufzeigen, in welchem Grad die Alternative schlechter ist als die Alternative . Im Gegensatz zu den Konkordanzindizes werden bei der Diskordanz-Matrix die maximalen Abweichungen der Zielerreichungsmatrix verwendet (siehe Gleichung 2)

(Gleichung 2)

Auch hier wird der Index auf das Intervall normiert. Analog zum Konkordanzindex repräsentiert ein hoher Wert die Vorteilhaftigkeit der Alternative gegenüber Alternative .

In Schritt sechs und sieben werden nun im Anschluss eine Konkordanz-Dominanz-Matrix und eine Diskordanz-Dominanz-Matrix aufgestellt. Hierfür werden die bereits erwähnten Schwellenwerte benötigt. Der Konkordanz-Schwellenwert sowie der Diskordanz-Schwellenwert müssen vom ET vorgegeben werden.^[10] Alternativ kann hier jedoch auch der Mittelwert als Schwellenwert genutzt werden. Allgemein wird der Konkordanzindex mit dem Konkordanz-Schwellenwert vergleichen. Ist mindestens so groß wie , wird der entsprechende Eintrag in eine Konkordanz-Dominanz-Matrix zu 1, sonst zu 0. Die Diskordanz-Dominanz-Matrix wird analog aufgebaut. Die Einträge werden zu 1, wenn und zu 0, wenn .^[11] Im vorletzten Schritt werden die errechneten Matrizen zu einer gemeinsamen Dominanz-Matrix aggregiert. Als Ausprägungen sind hierbei lediglich die Werte 0 und 1 zu beobachten. Die Koeffizientenausprägung 1 besagt, dass die Alternative durch die Alternative dominiert wird. Zugleich ist bei dieser Ausprägung die auftretende Diskondanz für ein Veto zu gering. Im Gegensatz hierzu, liegt bei ein Veto gegen die angesprochene Dominanz vor. Alternativ lässt sich hiermit beweisen, dass die Konkordanz hinsichtlich der Dominanz ungenügend war. Im abschließenden neunten Schritt werden die dominierten Alternativen ermittelt und aus der Dominanz-Matrix gestrichen. Weißt eine Alternative am Ende einen Spaltenwert von auf, so ist diese als dominante Strategie anzusehen. Das vorgestellte Electre-Verfahren ist im hohen Maße abhängig von den gewählten Schwellenwerten. Diese Eigenschaft ist zugleich ihr größter Nachteil, da die Wahl der Schwellenwerte willkürlich ist. Mit dem nachfolgenden Promethee-Verfahren soll diesbezüglich ein alternatives Outrankingverfahren aufgezeigt werden.^[12]

3.1.2 Promethee

Im Jahre 1985 entwickelten Brans und Vincke das Electreverfahren weiter, um die Glaubwürdigkeit sowie die Akzeptanz des Verfahrens zu verstärken. Bei dem entwickelten Verfahren werden verallgemeinerte Kriterien verwendet, die vom Entscheider problemspezifisch festgelegt werden können. Hieraus ergibt sich der Unterschied zu anderen Outrankingverfahren, da alle verwendeten Parameter eine reale Bedeutung haben. Das Ergebnis ist ein weiteres Ourtrankingverfahren der französischen Schule, das sogenannte Promethee-Verfahren (Preference Ranking Organization Method for Enrichment Evaluations).^[13] Diesem Verfahren obliegt die gleiche Ausgangslage wie dem Electreverfahren. Auch hier verfügt der ET nicht über genaue, vollständige und widerspruchsfreie Informationen. Somit ist er folglich auch nicht in der Lage eine schwache Ordnung von Alternativen zu konstruieren. Ziel des Verfahrens ist es, jedes Bewertungskriterium problembezogen mit einer Präferenzfunktion zu verknüpfen.^[14] Der Entscheidungssachverhalt, ob der ET einer Alternative Präferenz oder Indifferenz beimisst, wurde durch die Zulassung von abgestufter Präferenz entschärft. Unter Einbezug einer Präordnung vermag es das Verfahren Alternativen zu ordnen und zu selektieren. Die spezielle Präordnung lässt sich als Rangfolge charakterisieren, in der sowohl Unvergleichbarkeiten als auch transitive Beziehungen von Alternativen möglich sind.^[15] Das angesprochene Verfahren erhebt hierbei nicht den Anspruch, die allgemein beste Alternative zu finden, sondern versteht sich eher als Identifikationshilfe für multikriterielle Entscheidungsprobleme.^[16]

Die Alternativen werden vom ET nun hinsichtlich verschiedener Präferenzen verglichen. Hierzu werden die Alternativen in der Form als kardinal gemessene Ausprägung der Alternative im Bezug auf das Kriterium notiert. Es wird im Folgenden gemäß der Gleichung 3 ein Paarvergleich aller Alternativen miteinander vollzogen.

(Gleichung 3)

Der ermittelte Präferenzwert konkretisiert, in welchem Maße die Alternative hinsichtlich des Kriteriums dominiert. Die Besonderheit des Verfahrens ist es, auch schwache Präferenzwerte zwischen strenger Präferenz ( und Indifferenz ( zuzulassen. Die Ausprägungen Indifferenz, schwache Präferenz und strikte Präferenz können mit Hilfe von sechs typischen Präferenzfunktionen flexibel visualisiert werden.^[17] Für eine detaillierte Darstellung der Präferenzfunktionen sei auf Brans, Vincke (1985) verwiesen.^[18]

Der Verfahrensablauf lässt sich hierbei in vier Phasen untergliedern. Zunächst erfolgt die Konkretisierung der Zielkriterien, es wird dabei vorausgesetzt, dass die Ausprägungen der Alternativen in kardinal skalierter Form vorliegen. Im anschließenden zweiten Schritt bedarf es der Wahl einer passenden Präferenzfunktion. Im vorletzten Schritt werden die sogenannten Outranking-Relationen bestimmt, indem für jedes Alternativenpaar zwei Präferenzwerte ermittelt werden. Zunächst wird jedoch ein Gewichtungsfaktor definiert, der die relative Bedeutung der Kriterien wiederspiegelt. Diese Gewichte werden daraufhin mit den Präferenzwerten multipliziert (siehe Gleichung 4).

(Gleichung 4)

Die resultierenden Outrankingindizes repräsentieren somit das gewichtete Mittel der kriterienspezifischen Präferenzwerte. Die Interpretation, hinsichtlich Indifferenz und starker Präferenz, erfolgt nun anlog der Präferenzwertbetrachtung. Im Anschluss hieran werden die Relationen, mit Hilfe eines Knotengrafen grafisch illustriert. Pro Alternativenpaar existieren somit zwei Outrankingindizes und somit auch zwei Pfeile und zwei Knoten. Auch eine Matrizenschreibweise ist hierbei denkbar.^[19]

Im vierten und letzten Schritt des Promethee-Verfahrens werden die ermittelten Outranking-Relationen ausgewertet. Es lassen sich hierbei für jeden Knotenpunkt zwei Flussgrößen definieren. Die Flussgröße steht hierbei für die Aggregation aller Präferenzen -Kanten- einer Alternative gegenüber allen Anderen. Die Interpretation dieser Größe ist mit der Konkordanz des Electreverfahrens vergleichbar. Die komplementäre Betrachtung, die Flussgröße , wird analog hierzu mit der Diskordanz verglichen und ist ein Index für die Dominanz durch andere Alternativen.^[20] Aus dem Vergleich der Flussgrößen lässt sich nun eine abschließende partielle Präordnung formen, in der Präferenz, Indifferenz sowie Unvergleichbarkeit gleichermaßen berücksichtigt werden (siehe Abbildung 3.1). Zur Illustration der Präordnung ist Abbildung 3.1 zu entnehmen, dass Alternative von allen Anderen dominiert wird, wohingegen zwischen und eine Unvergleichbarkeit besteht.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 3.1: Partielle Präordnung^[21]

Ist die vollständige Reihenfolgeordnung das erkläre Ziel, so bedarf es einer Abwandlung des Promethee-Verfahrens. Im Promethee-II-Verfahren werden im letzten Schritt c.p. hingegen Nettoflussgrößen betrachtet, um eine vollständige Präferenzrelation der Alternativen zu erstellen. Durch den Quotienten von und werden die Stärken und Schwächen der Alternativen teilweise kompensiert und es ist mit einem Informationsverlust zu rechnen.^[22]

3.1.3 Vergleich Electre und Promethee

Bei den Outrankingverfahren Electre und Promethee besteht in ihrer Grundform eine dominante Gemeinsamkeit. Beiden Verfahren gehen von der Grundannahme aus, dass der ET weder über vollständige noch widerspruchsfreie Informationen verfügt und somit keine Alternative gemäß einer schwachen Ordnung präferiert. Weiterhin basieren beide Verfahren auf paarweisen Alternativenvergleichen für jeweils ein bestimmtes Kriterium. Ein spezieller Nachteil des Electreverfahrens ist die willkürliche Definition der Schwellenwerte sowie die undefinierte Kriteriengewichtung. Im Gegensatz dazu generiert das Prometeeverfahren mit der Verwendung von real bedeutsamen Parametern Akzeptanz gegenüber Dritten. Schlussendlich vermag es jedoch keines der beiden Verfahren eine klare und vollständige Rangfolge hervorzubringen.^[23] Folglich besteht der Vorteil der Outrankingverfahren in der Vorauswahl von Alternativen und bietet somit lediglich Hilfestellung in der Mehrzielentscheidung.^[24] Die Outrankingverfahren disqualifizieren sich auf Grund der geringen Akzeptanz sowie der partiellen Präordnung hinsichtlich einer Integration der Fuzzy Set-Theorie. In den folgenden Kapiteln soll geklärt werden, ob sich multikriterielle Bewertungsverfahren mit einer exakten Alternativenordnung besser für die Einbettung eignen.

3.2 Multikriterielle Bewertungsverfahren

Im Rahmen der Differenzierung der MADM-Modelle sollen im Folgenden die multikriteriellen Entscheidungsverfahren erörtert werden. Die folgenden Verfahren grenzen sich maßgeblich gegenüber den Outrankingverfahren durch eine klare Präferenzstruktur ab. Die hierbei erörterten Verfahren versuchen durch die Aggregation von Nutzwerten subjektiv optimale Präferenzen zu generieren. Im Anschluss hieran soll über eine mögliche Integration der Fuzzy-Logik in die Verfahren diskutiert werden.^[25]

3.2.1 Der Analytische Hierarchie Prozess (AHP)

Als erstes klassisches MADM-Verfahren soll im Folgenden das von Thomas L. Saaty gegen Ende der 1970er Jahre entwickelte AHP Verfahren charakterisiert werden. Bezeichnend für das AHP ist, dass das Oberziel des multikriteriellen Entscheidungsproblems in eine Hierarchie von Ziel- und Maßnahmenebenen aufgespalten wird, um somit das relevante Entscheidungsproblem zu vereinfachen und zu strukturieren. Die Basis dieser Hierarchie bilden die Alternativen des Entscheidungsproblems. Bei der Aufspaltung kommen hierbei sowohl qualitative als auch quantitative Kriterien zum Tragen. Der Kern des Verfahrens besteht aus dem Paarvergleich von Alternativen, um die relative Bedeutung der definierten Kriterien bestimmen zu können. Somit lassen sich folglich Aussagen über die Vorteilhaftigkeit von Teilzielen oder ganzen Alternativen hinsichtlich des Oberzieles ableiten.^[26]

Die Vorgehensweise des AHP Verfahren ist deutlich durch die drei Facetten des Namens charakterisierbar. Analytisch bedeutet in Fall des AHP, dass logische und mathematische Verfahren angewandt werden, um numerische Werte transparent darstellen zu können. Die hierarchische Komponente soll aufzeigen, dass das Entscheidungsproblem in Ziele, Kriterien, Unterkriterien und Alternativen aufgeteilt wird, um dem Fokus auf die Teilprobleme zu lenken. Der Begriff des Prozesses betont den zeitlichen Aspekt der Entscheidungsfindung. Der damit verbundene Prozess des Lernens, Erörterns und Überprüfens soll mit Hilfe des AHP unterstützt und optimiert werden.^[27]

Die Eckpfeiler des AHP bilden die von Saaty definierten vier mathematischen Axiome.^[28] Beim ersten Axiom wird unterstellt, dass die Alternativen in einer reziproken Beziehung zueinander stehen. Das bedeutet, dass wenn eine Alternative () für den ET doppelt so wichtig ist als eine Alternative (), die Alternative () nur halb so wichtig im Bezug auf Alternative () ist. Daraus folgt, dass für die Paarvergleichmatrix Vergleiche nötig sind. Die Bedingung des zweiten Axioms besagt, dass der Bewertungsmaßstab zweier Alternativen nicht unendlich groß bezüglich eines Kriterium sein darf. Das dritte Axiom setzt voraus, dass sich das Entscheidungsproblem mit Hilfe der Hierarchiestruktur abbilden lässt. Dabei wird auf klar definierte und scharf voneinander abgegrenzte Kriterien abgestellt.^[29] Desweiteren müssen die Elemente des Paarvergleichs autark hinsichtlich der Elemente der über bzw. untergeordneten Hierarchieebene sein.^[30] Das letzte Axiom besagt, dass die abgebildeten Kriterien und Alternativen der Hierarchie den subjektiven Präferenzvorstellungen des ET entsprechen müssen.^[31]

Im Folgenden soll nun das Ablaufschema des AHP kurz erläutert werden. Ziel des ersten Abschnitts ist die Entwicklung einer hierarchischen Struktur. Hierbei wird der Entscheidungssachverhalt sukzessiv zerlegt und strukturiert. Dabei ist auf eine exakte Separierung zwischen den Alternativen und den Unterzielen zu achten. Desweiteren gilt die Restriktion, dass nur vertikale relative Beziehungen entlang der Hierarchiekette existieren dürfen. Horizontale Beziehungen in derselben Ebene sollten hingegen vermieden werden. Die Kriterien innerhalb einer Ebene sollten jedoch vergleichbar sein. Bei der Erstellung der Hierarchie sei zudem in besonderem Maße auf das dritte Axiom Saaty‘s verwiesen.^[32] Die Bildung der Hierarchie ist, neben den Restriktionen, lediglich an die subjektiven Einschätzungen des ETs gebunden und kann somit nicht pauschalisiert werden. Folglich würden zwei verschiedene ETs auch zwei verschiedene Hierarchien aufstellen.^[33] Der zweite Schritt des AHP beschäftigt sich mit dem Paarvergleich und der Frage, „in welchem Maße dominiert das eine Element das andere Element des betrachteten Paares im Hinblick auf ein bestimmtes Element der nächst höheren Hierarchiestufe?“^[34] Dabei wird „die relative Bedeutung eines jeden Elements in Bezug auf jedes Element der übergeordneten Hierarchieebene durch Paarvergleiche mit allen anderen Elementen der gleichen Ebene bestimmt.“^[35] Bei qualitativen Merkmalen kann davon ausgegangen werden, dass der ET für alle Elementpaare der entstandenen Paarvergleichsmatrix einen Verhältniswert auf der Saaty-Skala angeben kann.^[36] Der Vorteil der Bewertungsskala liegt in der Umwandlung der verbalen Präferenzurteile in ein mathematisches skalierbares Niveau.^[37] Im nachgelagerten dritten Schritt werden die zugehörigen Gewichte der Paarvergleichsmatrizen hinsichtlich der relativen Bedeutung, im Bezug auf die über ihnen stehenden Zielkriterien, nach Saatys-Eigenvektormethode berechnet.^[38] Meist liegen jedoch inkonsistente Prioritätenschätzungen vor, daher ergibt sich eine Mehrzahl von Eigenvektoren.^[39] Hierzu werden der maximale Eigenwert , sowie der normierte Eigenvektor errechnet (zur genaueren Erklärung der Eigenvektormethode sei auf Götze, U. (2006) verwiesen).^[40] Mit Hilfe von Nährungsverfahren lassen sich dementsprechend exakte Lösungen generieren.^[41] Im vierten Schritt erfolgt nun eine Konsistenzprüfung der Paarvergleichsmatrizen. An Hand des von Saaty erarbeiteten Berechnungsschemas werden ausschließlich Paarvergleiche die einen Konsistenzwert von aufweisen für akzeptabel erachtet.^[42] Erfüllt der Paarvergleich dieses Kriterium, werden die Gewichtungen der Alternativen bezüglich der Ziele für die gesamte Hierarchie berechnet.^[43] Wird hingegen diese Konsistenzbedingung nicht erfüllt, bedarf es einer Revision der Schritte zwei bis vier.^[44] Die Berechnung der Ziel und Maßgrößenprioritäten folgt abschließend im fünften Schritt. Hierbei werden die einzelnen Gewichtungsvektoren aller Paarvergleichsmatrizen addiert, um die globale Priorität der Handlungsalternativen im Hinblick auf das Oberziel zu bestimmen.^[45] Das am Ende ermittelte Gewicht der Alternative im Bezug auf das Oberziel liegt im Intervall zwischen und .^[46]

Abschließend ist anzuführen, dass der AHP als geeignetes Mittel zur multikriteriellen Entscheidungsunterstützung angesehen werden kann, da sowohl qualitative als auch quantitative Informationen verarbeitet werden können. Zudem liefert die Praxis weitere positive Aspekte des AHP. Praktische Relevanz erlangt das Verfahren zudem durch die gute Visualisierbarkeit mittels einfacher Officetools wie Microsoft Excel.^[47] Desweiteren repräsentiert der AHP keine klassische Marktforschung, da zur Datenerhebung die benötigten Daten von Experten intern gesammelt werden.^[48] Als wesentlicher Kritikpunkt des AHP ist die Saaty’sche Skala anzuführen. Die Präferenzen könnten durch Austauschraten besser dargestellt werden als mit der 9 Punkte Skala von Saaty. Desweiteren gilt das angewendete additive Modell im fünften Verfahrensschritt als fraglich, da eine starke Präferenzunabhängigkeit, sowie eine hohe Substituierbarkeit der Ziele vorausgesetzt werden.^[49]

3.2.2 Nutzwertanalyse

Ein weiteres bedeutendes Entscheidungsverfahren der MADM-Modellfamilie ist die 1970 von Christof Zangemeister beschriebene Nutzwertanalyse.^[50] Dieses klassische Entscheidungssystem wird definiert, als „Analyse einer Menge komplexer Handlungsalternativen mit dem Zweck, die Elemente dieser Menge entsprechend den Präferenzen des Entscheidungsträgers bezüglich eines multidimensionalen Zielsystems zu ordnen“.^[51] Die Grundidee dieses Verfahren ist es, den Entscheidungssachverhalt in Teilnutzen zu untergliedern, um die Alternative differenzierter betrachten und deren Messbarkeit verbessern zu können.^[52] Die gefunden Teilnutzen werden daraufhin mit subjektiven Kriteriengewichten zum Nutzwert aggregiert.^[53] Ziel dieses Entscheidungsmodelles ist es, verschiedene Handlungsalternativen im Hinblick auf die multikriteriellen Zielsetzungen anhand bestimmter subjektiver Bewertungskriterien vergleichbar zu machen.^[54] Das beschriebene Entscheidungsmodell basiert auf der Grundannahme, dass der Entscheidungsträger die Alternative bevorzugt, die ihm den größten summierten Teilnutzen bietet.^[55]

Der maximale Nutzen wird hierbei als wirtschaftlicher Wert, in Anlehnung an die Haushaltstheorie, als die Fähigkeit eines Gutes definiert, ein bestimmtes Bedürfnis des Entscheidungsträgers befriedigen zu können.^[56] Die Nutzwertanalyse präsentiert sich als einfach strukturiertes Entscheidungsmodell, deren praktischen Umsetzung keinerlei weiterführender Kenntnisse erfordert. Es sei jedoch hinzuzufügen, dass die Konzipierung der Kriterien, sowie deren Gewichtung ein gewisses Maß an Erfahrung benötigen.^[57] Aufgrund der einfachen Handhabung sowie der einfachen Struktur ist die Nutzwertanalyse ein fester Bestandteil der praxisorientierten Entscheidungsfindung.^[58]

Im Folgenden soll ein differenzierter Überblick über den Aufbau und den Ablauf der Nutzwertanalyse gegeben werden. In Anlehnung an das Ablaufschema von Rinza und Schmitz (1992) wird in den folgenden fünf Abschnitten die Nutzwertanalyse detailliert beschrieben.^[59]

Ablaufschema der Nutzwertanalyse:

1. Hierarchische Gliederung und Aufstellung der Bewertungsziele
2. Gewichtung der einzelnen Ziele
3. Aufstellen einer Wertetabelle oder einer Wertefunktion
4. Berechnung und Bewertung der Alternativen
5. Nutzwertberechnung und Beurteilung der Ergebnisse

Im ersten Schritt der hierarchischen Gliederung und Aufstellung der Bewertungsziele gilt es zunächst gewisse Prämissen der Zielkriterien zu formulieren. Zunächst wird nach Belton und Stewart (2003) das Kriterium der Relevanz eingeführt. Hierbei handelt es sich um den Aspekt, dass die aufgeführten Kriterien mit dem eigentlichen Ziel des Entscheidungsproblems verknüpft sein müssen.^[60] Als eine weitere Voraussetzung der Nutzwertanalyse gilt, dass jedes Bewertungskriterium operational - nominal, ordinal oder kardinal- formuliert sein muss und somit auch quantifizierbar und visualisierbar ist.^[61] Desweiteren wird eine klare und unmissverständliche Formulierung der Zielkriterien als Bedingung postuliert. Weiterhin wird auf die Vermeidung von Korrelation der einzelnen Kriterien abgestellt. Das bedeutet, dass kausale Abhängigkeiten zwischen den einzelnen Kriterien vermieden werden sollen.^[62] Auch Götze (2006) führt die Prämisse an, indem er anführt, dass die Redundanz von Zielkriterien vermindert werden sollte, um somit die Nutzenunabhängigkeit der Zielkriterien zu wahren.^[63] Die Forderung nach Einhaltung der Nutzenunabhängigkeit wird von Zangemeister (1976) als eine „irrationale Hypothese“ bezeichnet, da bei komplexeren Entscheidungssituationen eine bedingte Nutzenunabhängigkeit innerhalb der Intensitätsbereiche der definierten Ziele genügt. Im Rahmen der praktischen Anwendung ist eine vollständige Nutzenunabhängigkeit somit nicht zu erwarten. Daher genügt es, eine bedingte Nutzunabhängikeit zu unterstellen.^[64] Bezüglich des Umfangs und der Komplexität der Kriterien ist zu beachten, dass es sowohl auf Vollständigkeit als auch auf Prägnanz ankommt. Es bedarf somit einer Abwägung zwischen diesen beiden Vorgaben.^[65] Gemäß dem Ablaufschema werden im ersten Schritt mit Hilfe der oben angeführten Prämissen Zielbäume konstruiert (siehe Abbildung 3.2). Bei der Entwicklung dieser Zielhierarchien wird nun das übergeordnete Ziel der Entscheidungsalternative in Unterziele und Attribute aufgeschlüsselt. Mit Hilfe von vertikaler und horizontaler Differenzierung lässt sich eine klare und nachvollziehbare Ordnung der Zielkriterien entwickeln. Unter der vertikalen Zielstrukturierungsordnung ist die hierarchische Zweck-Mittel-Beziehung zwischen den Ober- und Unterzielen zu verstehen.^[66] Bedingt durch die Richtung der Aufteilung können hier zwei verschiedene vertikale Zielstrukturierungen angeführt werden. Zum einen die deduktive/top-down Vorgehensweise, bei der das vorhandene Oberziel vertikal in Unterziele aufgespalten wird. Zum Anderen die induktive/bottom-up Verfahrensweise, bei der die Zielattribute zu einem Oberziel aggregiert werden.^[67] Die horizontale Ordnung der Zielkriterien greift hierbei wieder die Prämisse der Relevanz der Unterziele auf. Durch die Mittel-Zweckbeziehung lassen sich die Unterziele zu dem jeweiligen Oberziel aggregieren (siehe Abbildung 3.2).^[68]

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 3.2: Zielhierarchie der Nutzwertanalyse^[69]

Der zweite Schritt im Ablaufschema der Nutzwertanalyse behandelt die Gewichtung der einzelnen Unterziele und Attribute (. Die subjektive Gewichtung der einzelnen Kriterien hat eine große Bedeutung bei der Nutzenbewertung eines Entscheidungsproblems. Zur Gewichtung der Kriterien kommen direkte oder indirekte Intervallskalierungen zu Einsatz. Bei der direkten Skalierung werden anhand einer Intervallskala den Kriterien Werte zugeordnet, die die Präferenzunterschiede zwischen den Zielkriterien widerspiegeln sollen. Hingegen werden bei der indirekten Skalierung die Zielkriterien hinsichtlich ihrer subjektiven Wichtigkeit geordnet. Sowie konstante Präferenzunterschiede in der Ordnung bestehen, erfolgt die Gewichtung anhand der Rangziffern.^[70] Die beiden Skalierungsmodelle weise jedoch eine Gemeinsamkeit im Bezug auf die Intervallskalierung auf. Es wird bei beiden Methoden von einer Normierung der Gewichte ausgegangen, die sich für eine Alternative zum Wert 1 addieren lassen.^[71] Die Gewichtung ist daher von großer Bedeutung, da sonst jedes Ziel dieselbe Bedeutung hätte.

Nach der Bestimmung der Gewichte werden anschließend im dritten Schritt, den jeweiligen Kriterien mit Hilfe von Wertfunktionen Erfüllungsgrade () zugeordnet. Die hierbei eingesetzten Wertfunktionen repräsentieren die mathematische Präferenz der Entscheidungsträger (siehe Gleichung 5).

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

(Gleichung 5)

Für die Zielausprägung der verschiedenen Attribute k werden normierte Erfüllungsgrade errechnet.^[72] Die Erfüllungsgrade werden mittels Wertefunktionen oder Wertetabellen erstellt. Durch den Einsatz von Transformationskurven wird der subjektive Standardisierungsprozess der Erfüllungsgrade nachvollziehbarer gestaltet. Es ergeben sich hierbei drei zu unterscheidende Typen von Transformationskurven. Bei der diskreten Transformation werden spezifischen Zielerreichungsklassen differenzierte Erfüllungsgrade zugeordnet. Hierbei wird auf ordinal skalierte Daten zurückgegriffen. Bei der stückweise-konstanten Transformation hingegen wird allen Werten eines bestimmten Zielerreichungsintervalls ein spezifischer Erfüllungsgrad zugeordnet. Als Grundlage der Transformation dienen hierbei kardinale Messdaten. Auch die stetige Transformationsfunktion bedient sich kardinaler Messdaten, jedoch führen hierbei Differenzen in den Zielerreichungswerten maßgeblich auch zu verschiedenen Erfüllungsgraden.^[73]

Der entscheidende vierte Schritt der Nutzwertanalyse ist die Aggregation der Kriteriengewichte und der Erfüllungsgrade zum Nutzwert einer Alternative. Hierfür werden die bereits ermittelten Erfüllungsgrade im additiven Modell mit den Kriteriengewichten verknüpft (siehe Gleichung 6).

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

(Gleichung 6)

Diese so genannte additive Verknüpfungsart gilt als wesentlich genauer als die multiplikative Variante.^[74] An dieser Stelle sein noch einmal, hinsichtlich der Gültigkeit des additiven Modells auf die Prämisse der Präferenzunabhängigkeit verwiesen.^[75]

Die Beurteilung der Vorteilhaftigkeit erfolgt nun im letzten Ablaufschritt. Für jede Alternative existiert somit ein ausschlaggebender Nutzwert . Eine Alternative ist als relativ vorteilhaft zu bezeichnen, „wenn sein Nutzwert größer ist als der eines jeden anderen zur Wahl stehenden Objektes.“^[76] Es ist somit möglich, anhand der aggregierten Nutzwerte eine klare Präferenzordung der Alternativen zu erstellen.

Abschließend ist zu sagen, dass die Nutzwertanalyse ein Verfahren darstellt, das mit geringem Rechenaufwand durchgeführt werden kann, jedoch auch kritisch beleuchtet werden muss.^[77] Als ein Kritikpunkt ist anzumerken, dass die Redundanzprämisse bei der Hierarchiebildung besonders bei Gruppenentscheidungen zum Disput führen kann. Es empfiehlt sich daher eine Abstimmung über die Präferenzen im Vorhinein.^[78] Der Schwachpunkt der Nutzwertanalyse liegt in ihrer Subjektivität begründet. Jedoch können mit Hilfe der Sensitivitätsanalyse die subjektiven ermittelten und gewichteten Kriterien überprüft und letztendlich auch validiert werden.^[79]

3.2.3 Vergleich des AHP mit der NWA

Es ist vergleichend zu konstatieren, dass mit Hilfe des AHP Entscheidungsprobleme hierarchisch transparenter strukturiert werden können. Dieser theoretische Vorteil ist jedoch nur bedingt mit der Praxis vereinbar. Durch das dritte Axiom ist es nur bedingt möglich, Entscheidungssituationen realitätsgetreu abzubilden, da in der Realität nahezu immer Interdependenzen innerhalb der gleichen Ebene existieren.^[80]

Mit zunehmenden Hierarchiestufen werden die Paarvergleichsmatrizen des AHP komplexer und die Matrixoperationen sowie die Berechnung der Eigenwerte der Matrizen mathematisch anspruchsvoller. Diese Komplexität kann durch den Einsatz der NWA umgangen werden, da es hier möglich ist, mehrere Alternativen transparent und mathematisch einfach zu konstruieren. Die einfache Struktur der NWA bietet einen weiteren positiven Aspekt im Vergleich zum AHP. Es ist bei der NWA außerdem möglich, Alternativen im Nachhinein hinzuzufügen.^[81] Weitere Vorteile des Verfahrens sind auf den geringen Rechenaufwand, sowie auf die gute und einfache Visualisierung des Entscheidungsproblems zurückzuführen.^[82] Auch durch eine gute Kosten-Nutzen-Relation erfreut sich die NWA in der Praxis großer Beliebtheit.^[83] Ein weiterer Vorteil der multikriteriellen Verfahren der Mehrzielentscheidung ist der Output. Im Vergleich zu den Outrankingverfahren ergibt sich bei der NWA sowie dem AHP eine konkrete Rangfolge bzw. Rangordnung der Alternativen.^[84] Sie eignen sich daher in besonderem Maße für die Integration der Fuzzy Set-Theorie. Die Einbettung der Unschärfetheorie wird aufgrund des hohen Praxisbezuges sowie der einfachen Struktur daher im Teil 5 anhand der NWA vorgenommen.

[...]

^[1] ELECTRE steht für : ELimination Et Choix Traduisant la REalité (Elimination and Choice Expressing Reality)

^[2] Vgl. Ossadnik, W. (1998), Seite 32

^[3] Zimmermann, H.J., Gutsche, L. (1991), Seite 207

^[4] Vgl. Ziegenbein, R. (1998), Seite 23, Zimmermann, H.J., Gutsche, L. (1991), Seite 206ff.

^[5] Vgl. Zimmermann, H.J., Gutsche, L. (1991), Seite 208

^[6] Vgl. Zimmermann, H.J., Gutsche, L. (1991), Seite 208

^[7] Vgl. Zhang, M.E. K. (2004), Seite 28

^[8] Vgl. Zimmermann, H.J., Gutsche, L. (1991), Seite 208

^[9] Vgl. Zhang, M.E. K. (2004), Seite 28

^[10] Vgl. Zimmermann, H.J., Gutsche, L. (1991), Seite 210

^[11] Vgl. Zhang, M.E. K. (2004), Seite 29f.

^[12] Vgl. Zimmermann, H.J., Gutsche, L. (1991), Seite 211f.

^[13] Vgl. Brans, J.P., Vincke, P. (1985), Seite 648

^[14] Vgl. Pflugfelder, M. (2007), Seite 8

^[15] Vgl. Götze, U. (2006), Seite 217f.

^[16] Vgl. Coello Coello, C., et al.(2007), Seite 45

^[17] Vgl. Brans, J.P., Vincke, P.(1985),Seite 649f., Götze, U. (2006), Seite 218f.

^[18] Vgl. Brans, J.P., Vincke, P.(1985),Seite 650-652

^[19] Vgl. Götze, U. (2006), Seite 221f.

^[20] Vgl. Zimmermann, H.J., Gutsche, L. (1991), Seite 227f.

^[21] Götze, U. (2006), Seite 227

^[22] Vgl. Oberschmidt, J., et al. (2009), Seite 4

^[23] Vgl. Zimmermann, H.J., Gutsche, L. (1991), Seite 212ff., Geldermann, J. (2005), Seite 135ff.

^[24] Vgl. Geldermann, J. (2005), Seite 135f.

^[25] Vgl. Gurkasch, D. (2007), Seite 14

^[26] Vgl. Götze, U. (2006), Seite 188

^[27] Vgl. Zimmermann, H.J., Gutsche, L. (1991), Seite 65f.

^[28] Vgl. Saaty, T. (1986), Seite 844 f.

^[29] Vgl. Zimmermann, H.J., Gutsche, L. (1991), Seite 67f.

^[30] Vgl. Harker, P. (1989), Seite 25

^[31] Vgl. Zimmermann, H.J., Gutsche, L. (1991), Seite 69

^[32] Vgl. Götze, U. (2006), Seite 189

^[33] Vgl. Vargas, L. (1990), Seite 2

^[34] Zimmermann, H.J., Gutsche, L. (1991), Seite 69

^[35] Götze, U. (2006), Seite 189

^[36] Vgl. Lillich, L. (1992), S. 76; Zur Erläuterung der Saaty-Skala vgl. Götze, U. (2006), Seite 190

^[37] Vgl. Götze, U. (2006), Seite 190

^[38] Vgl. Rommelfanger, H., Eickemeier, S. (2002), Seite 153; Zimmermann, H.J., Gutsche, L. (1991), Seite 57f.

^[39] Vgl. Braun, O. (2009), Seite 116

^[40] Vgl. Götze, U. (2006), Seite 193

^[41] Vgl. Fink, K., Christian, P. (2006), Seite 106

^[42] Vgl. Rommelfanger, H., Eickemeier, S. (2002), Seite 155

^[43] Vgl. Zimmermann, H.J., Gutsche, L. (1991), Seite 70

^[44] Vgl. Harker, P. (1989), Seite 32

^[45] Vgl. Götze, U. (2006), Seite 195

^[46] Vgl. Zimmermann, H.J., Gutsche, L. (1991), Seite 72

^[47] Vgl. Ossadnik, W. (1998), Seite 138

^[48] Vgl. Ahlert, M. (2003), Seite 60

^[49] Vgl. Rommelfanger, H., Eickemeier, S. (2002), Seite 157

^[50] Vgl. Geldermann, J. (2006), Seite 124

^[51] Zangemeister, C. (1976), Seite 45

^[52] Vgl. Eisenführ, F., Weber, M. (2003), Seite 62

^[53] Vgl. Götze, U. (2006), Seite 181

^[54] Vgl. Reinberg, S., Bröthaler, J. (1997), Seite 7

^[55] Vgl. Geldermann, J. (2006), Seite 124f.

^[56] Vgl. Suchanek, A. (2010), Seite 1

^[57] Vgl. Scharer, M. (2000), Seite 1

^[58] Vgl. Schneider, K.-H. (2004), Seite 218

^[59] Vgl. Rinza, P., Schmitz, H. (1992), Seite 21

^[60] Vgl. Belton, V., Stewart T. J. (2003), Seite 40ff.

^[61] Vgl. Götze, U. (2006), Seite 181

^[62] Vgl. Geldermann, J. (2008), Seite 5f.

^[63] Vgl. Götze, U. (2006), Seite 181

^[64] Vgl. Zangemeister, C. (1976), Seite 78f.

^[65] Vgl. Geldermann, J. (2008), Seite 5f.

^[66] Vgl. Berthel, J.(1973), Seite S. 35

^[67] Vgl. Geldermann, J. (2008), Seite 7, supply-markets.com (2010), Seite 2

^[68] supply-markets.com (2010), Seite 2

^[69] Eigene Darstellung

^[70] Vgl. Zangemeister, C. (1976), Seite 163 – 172

^[71] Vgl. Götze, U. (2006), Seite 182

^[72] Vgl. Geldermann, J. (2008), Seite 8

^[73] Vgl. Götze, U. (2006), Seite 183

^[74] Vgl. Rinza, P., Schmitz, H. (1992), Seite 37

^[75] Vgl. Geldermann, J. (2008), Seite 9

^[76] Götze, U. (2006), Seite 184

^[77] Vgl. Rinza, P., Schmitz, H. (1992), S. 117

^[78] Vgl. Fischer, B. (2004), Seite 153

^[79] Vgl. Geldermann, J. (2008), Seite 9

^[80] Vgl. Riedel, R. (2006), Seite 115f.

^[81] Vgl. Riedel, R. (2006), Seite 119f.

^[82] Vgl. Bernroider, E., Mitlöhner, J. (2006), Seite 275; Vgl. Bleis, Christian (2006), Seite 73

^[83] Vgl. Gurkasch, D. (2007), Seite 15

^[84] Vgl. Geldermann, J. (2005), Seite 123