Implizite Volatilitäten im Black-Scholes-Modell: Eine theoretische und empirische Betrachtung

2 Black-Scholes-Modell

2.1 Finanzmathematische Grundlagen

2.1.1 Optionen

Wie bereits in der Einleitung erwähnt, gehören Optionen zur Gruppe der Finanzderivate, welche von einem Basiswert abgeleitet werden. Allerdings unterscheidet sich die Option durch ein wesentliches Merkmal von den Finanzderivaten Futures und Forwards: Futures und Forwards verpflichten ihren Inhaber eine Ware zu kaufen oder zu verkaufen. Die Option hingegen eröffnet ihrem Inhaber lediglich das Recht zu kaufen oder zu verkaufen. Der Inhaber muss dieses Recht nicht ausüben.^[1]

Ganz allgemein kann eine Option definiert werden als das Recht einen Basiswert innerhalb eines Zeitraums oder zu einem bestimmten Zeitpunkt zu einem vorher festgelegten Preis zu erwerben oder auch zu verkaufen. In der Literatur werden außerdem folgende vier Merkmale zur Unter-scheidung von Optionen aufgezählt:^[2]

1. Optionstyp: Man unterscheidet Kaufoptionen (Calls) und Verkaufs-optionen (Puts).
2. Zeitpunkt der Ausübung: Die Ausübung der Option ist entweder während der gesamten Laufzeit möglich (amerikanischer Stil) oder nur am Fälligkeitstag (europäischer Stil).
3. Basiswert (underlying): Optionen unterscheiden sich nach dem Gegenstand der dem Vertrag zu Grunde liegt. Es gibt beispielsweise Optionen auf Aktien, Aktienindizes oder auch auf Futures.
4. Art der Lieferung bei Ausübung: Es gibt den Barausgleich (cash settlement) oder auch die physische Lieferung, d. h. der Basiswert wird geliefert.

Der Handel von Optionen findet sowohl außerbörslich, d. h. direkt zwischen den Marktteilnehmern, als auch an Terminbörsen statt. Zu den bekann-testen und vom Handelsvolumen gesehen auch größten Terminbörsen gehören die CME Group in den USA, die Eurex in Deutschland und auch die NSE in Indien.^[3]

Als Ausübungspreis (strike) einer Option bezeichnet man den Preis, zu dem der zugrunde liegende Basiswert bei Ausübung gekauft bzw. verkauft wird.^[4] Der Optionspreis ist der Preis, den der Käufer einer Option an den Verkäufer zahlen muss. Dieser setzt sich maßgeblich aus zwei Teilen zusammen: dem inneren Wert und dem Zeitwert.^[5]

Der innere Wert ergibt sich als Differenz aus dem Ausübungspreis der Option und dem aktuellen Kurs des Basiswertes. Damit ist der innere Wert einer Option gleich dem Betrag, den die Option zu diesem Zeitpunkt einbringen würde. Da der Optionsinhaber nicht verpflichtet ist die Option auszuüben, kann der innere Wert niemals negativ sein.^[6] Eine Option ist „im Geld“ („in the money“) wenn ihr innerer Wert positiv ist. Eine Option, bei dem die Differenz aus Ausübungspreis und aktuellem Kurs des Basiswertes eigentlich einen negativen Betrag ergeben würde, wird nicht ausgeübt und hat damit einen inneren Wert von null. Diese Art der Option wird „aus dem Geld“ („out of the money“) genannt. Als dritte Möglichkeit kann eine Option „am Geld“ („at the money“) sein, d. h. der Ausübungspreis entspricht dem Kurs des Basiswertes.^[7]

Der zweite Teil des Optionspreises ist der sogenannte Zeitwert. Dieser ergibt sich als Differenz aus dem inneren Wert der Option und dem Optionspreis. Der Zeitwert einer Option ist umso größer je länger die Restlaufzeit dieser Option ist.^[8]

Beide Teile des Optionspreises, der innere Wert wie auch der Zeitwert, hängen von insgesamt sechs Faktoren ab, die hier gelistet werden sollen:^[9]

1. Aktueller Kurs des Basiswertes
2. Ausübungspreis der Option
3. Restlaufzeit der Option
4. Risikoloser Zinssatz
5. Erwartete Dividendenzahlungen
6. Schwankungsbreite (Volatilität)^[10] des Aktienkurses

Der Einfluss der einzelnen Faktoren auf den Optionspreis kann zusammen-gefasst in folgender Tabelle dargestellt werden. Es gilt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Tabelle 1: Einflussfaktoren auf den Optionspreis. In der linken Spalte werden untereinander die einzelnen Einflussfaktoren gelistet. In den Spalten Call und Put wird der Einfluss des jeweiligen Faktors auf den Call- bzw. Putpreis dargestellt. Ein Pluszeichen bedeutet, dass eine Erhöhung der Variable eine Erhöhung des Optionspreises zur Folge hat. Im Gegenteil dazu bedeutet ein Minuszeichen, dass eine Erhöhung der Variable eine Verringerung des Optionspreises zur Folge hat. Das Fragezeichen drückt aus, dass der Zusammenhang nicht eindeutig ist. (Entworfen nach: Hull (2012), S. 278.)

2.1.2 Put-Call-Parität

Die Put-Call-Parität beschreibt eine bedeutende Beziehung zwischen den Preisen eines Calls und eines Puts.^[11] Zur Gültigkeit der Put-Call-Parität müssen allerdings einige Voraussetzungen erfüllt sein: Zum einen muss gelten, dass nur Optionen europäischer Art betrachtet werden. Weiterhin müssen die betrachteten Kauf- und Verkaufsoptionen den gleichen Basis-wert, den gleichen Ausübungspreis und die gleiche Laufzeit verwenden. Außerdem wird unterstellt, dass bis zur Fälligkeit der Option keine Aus-zahlungen stattfinden und es keine Arbitragemöglichkeiten^[12] gibt.

Der Begriff Parität geht auf das lateinische Wort paritas zurück was soviel bedeutet wie ‘Gleichheit‘. Damit kann die Put-Call-Parität verstanden wer-den als eine Gleichgewichtsbedingung zwischen Kauf- und Verkaufsoptio-nen. Diese besagt, dass der Wert einer Kaufoption aus dem Wert einer Verkaufsoption abgeleitet werden kann und anders herum.^[13] Diese wichtige Erkenntnis beschrieb erstmals Hans Stoll 1969 in seinem Papier „The relationship between put and call option prices“.^[14] Das Prinzip der Put-Call-Parität basiert darauf, dass es zwei Portfolios gibt: Ein Portfolio besteht aus einer Kaufoption sowie einer Kreditaufnahme in Höhe des abgezinsten Ausübungspreises der Option . Das zweite Portfolio besteht aus einer Aktie und einer Verkaufsoption auf die Aktie. Da es sich um europäische Optionen handelt, die nicht vor dem Fälligkeitstermin ausgeübt werden können, müssen die Portfolios daher identisch sein. Es gilt:^[15]

(1)

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Da es keine Arbitragemöglichkeiten gibt, muss der Wert der Portfolios nicht nur am Fälligkeitstag sondern auch an jedem früheren Tag während der Laufzeit identisch sein.

2.1.3 Volatilitäten

Als Synonym für Veränderlichkeit findet die Volatilität in verschiedenen Bereichen der Wissenschaft Anwendung um Schwankungen zu beschreiben.^[16] In der Finanzmathematik wird die Volatilität als eine Maßzahl der Schwankungsintensität eines Index, einer Aktie oder auch Währung um dessen Mittelwert verwendet. Damit gilt sie als eine der wichtigsten Risikokennzahlen^[17], um das Anlagerisiko von Investitionen zu beschreiben. Es gilt: Je breiter die Streuung um den Mittelwert ist, umso größer ist die Volatilität und umso risikoreicher ist die Investition. Falls zur Berechnung der Volatilität stetige Renditen, d. h. Renditen mit kontinuierlicher Verzinsung herangezogen werden, kann die Volatilität gleichzeitig als Standardabweichung interpretiert werden.^[18] Diese stetigen Renditen oder auch log-Renditen folgen der Normalverteilung und ergeben sich als natürlicher Logarithmus des Verhältnisses tagesaktueller Schlusskurs zu seinem Vortageskurs :^[19]

(2)

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Die allgemeine Formel für die Standardabweichung lautet:

(3)

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Da eine direkte Beobachtung der Volatilität am Markt nicht möglich ist, kann die Volatilität entweder auf Basis historischer Werte (historische Volatilität) für die Vergangenheit angegeben werden oder anhand von Optionspreisen (implizite Volatilität) geschätzt werden.^[20]

Historische Volatilität

Die historische Volatilität basiert auf Datenmaterial vergangener Kurs-verläufe. Damit kann sie auch als realisierte Volatilität bezeichnet werden. Sie ist definiert als die über einen Zeitraum aufgetretene annualisierte Standardabweichung.^[21] Als Datenbasis der Berechnung der historischen Volatilität dienen die log-Renditen, die in Formel 2 bereits dargestellt wurden. Für die Berechnung der historischen Volatilität gibt es verschiedene Ansätze. Hier soll der Weg mittels Berechnung der Varianz dargestellt werden. Die Varianz ist definiert als das Quadrat der Standardabweichung über einen Zeitraum :^[22]

(4)

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Da es sich bei den zugrundeliegenden betrachteten log-Renditen stets um eine Stichprobe handelt, erfolgt die Berechnung mittels der Stichproben-varianz . Diese kann formal so dargestellt werden:

(5)

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Da gilt, kann der Schätzer der Volatilität berechnet werden als:

(6)

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Der Standardfehler dieser Schätzung beträgt näherungsweise:

(7)

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Die historische Volatilität wird normalerweise als Jahresvolatilität angegeben. Damit wird es möglich die Volatilitäten verschiedener Aktien mit-einander vergleichbar zu machen. Um die Jahresvolatilität zu erhalten, wird die errechnete Volatilität mit der Quadratwurzel des Zeitintervalls zwischen den Preisbeobachtungen multipliziert: Bei Verwendung täglicher Daten ist der Multiplikator , bei Handelstagen .^[23] Zur Frage welcher Multiplikator zur Volatilitätsbestimmung herangezogen werden sollen, gibt es in der Literatur kontroverse Diskussionen: Verschiedene Autoren, unter anderem Hull, schlagen vor Handelstage zu verwenden.^[24] In anderen, neueren Arbeiten, unter anderem denen von Dartsch, Thiel oder auch Merk, werden dagegen Kalendertage präferiert.^[25]

Als Schätzwert für die implizite Volatilität kann die historische Volatilität in die Ermittlung des Optionspreises eingehen.

Abschließend sollen noch zwei wichtige Anmerkungen zur historischen Volatilität gegeben werden: Als erster wichtiger Punkt sei genannt, dass zur Berechnung der historischen Volatilität üblicherweise nur die Schlusskurse verwendet werden, d. h. Schwankungen, die während des Handelstages stattgefunden haben, werden bei der Berechnung der historischen Volatilität nicht beachtet. Als zweiter wichtiger Punkt soll das Zeitintervall der Beobachtung genannt werden. Allgemein gilt: Mehr Daten führen dazu, dass die Volatilität genauer wird. Jedoch führt die Betrachtung eines langen Zeitraumes dazu, dass lang zurückliegende Datenschwankungen mit in die Berechnung der Volatilität einfließen, welche unter Umständen weniger aussagekräftig sind als Betrachtungen, die kürzer zurück liegen. Daher benutzt man häufig denselben Zeitraum in der Vergangenheit, um für diesen Zeitraum Aussagen in der Zukunft treffen zu können.^[26] Um das Problem lang zurückliegender Daten zu lösen, gibt es außerdem Berechnungsmodelle, die eine unterschiedliche Gewichtung der historischen Daten erlauben.

Implizite Volatilität

Die implizite Volatilität basiert, im Gegenteil zur historischen Volatilität, nicht auf vergangenen Kursverläufen. Stattdessen dienen aktuell am Markt gehandelte Optionen als Datengrundlage. Die implizite Volatilität ist hier selbst Bestandteil des Optionspreises, d. h. sie spiegelt die Volatilität wider, die bei einem gegebenen Optionspreis von den Marktteilnehmern angenommen wird.^[27]

Zur Berechnung der impliziten Volatilität werden Optionspreismodelle, wie das Black-Scholes-Modell, verwendet. Im Black-Scholes-Modell sind die Optionspreise Funktionen der bereits in Kapitel 2.1.1 beschriebenen Para-meter. Erwartete Dividendenzahlungen werden innerhalb des Black-Scholes-Modells vernachlässigt. Ziel ist es nun bei einem gegebenen Optionspreis die Volatilität so zu bestimmen, dass der am Markt beobachtete Optionspreis mit dem Preis des Modells übereinstimmt. Die derart bestimmte Volatilität bezeichnet man als implizite Volatilität.

Die Grundlagen des Black-Scholes-Modells sowie dessen Bewertungs-Formeln werden ausführlich auf den nächsten Seiten vorgestellt. Eine tiefergehende Betrachtung der impliziten Volatilität erfolgt dann im Kapitel 3.

2.2 Das Black-Scholes-Modell und seine Annahmen

Nachdem das Black-Scholes-Modell 1973 veröffentlicht wurde, machte es sehr schnell seinen Siegeszug in der Industrie und auch am gerade neu gegründeten Chicago Board of Options Exchange (CBOE). Schnell wurde hier erkannt, dass Marktteilnehmer, die auf das Modell vertrauten, erfolgreicher waren als andere, die nach purem Bauchgefühl handelten.^[28] Mit dem Black-Scholes-Modell war es erstmals möglich einen fairen Preis von Optionen zu bestimmen. Um das Modell allerdings erfolgreich anwenden zu können, ist die Kenntnis der Grundannahmen des Black-Scholes-Modells notwendig, welche hier dargestellt werden sollen:^[29]

1. Der Kapitalmarkt ist vollkommen.
2. Der kurzfristige risikofreie Zinssatz ist bekannt und konstant.
3. Der Aktienkurs folgt der geometrischen Brownschen Bewegung, die Verteilung der möglichen Aktienkurse ist daher log-normal bzw. die logarithmierten Veränderungen sind normalverteilt, die Varianz und damit auch die Volatilität der Aktienrendite ist konstant.
4. Die Aktie zahlt keine Dividenden oder andere Ausschüttungen.
5. Die Option ist europäischer Art.
6. Es fallen keine Transaktionskosten beim An- oder Verkauf der Aktien oder Optionen an.
7. Es ist möglich ohne Einschränkungen zum kurzfristigen Zinssatz Geld zu leihen oder zu verleihen.
8. Leerverkäufe^[30] sind möglich.
Nach den eben aufgezählten Annahmen hängt der Wert der Option nur vom Aktienkurs, der Zeit, sowie von bekannten und konstanten Größen ab.^[31]

Der Artikel von Black und Scholes beschreibt inhaltlich zwei Wege um die Black-Scholes-Formel herzuleiten. Zum einen wird ein Weg basierend auf Arbitrageüberlegungen beschrieben. Als Alternative wird ein Weg über das Capital Asset Pricing Model (CAPM) aufgezeigt. Hier nachfolgend soll der erste Weg, mit Hilfe der Arbitrageüberlegungen, beschrieben werden.

2.3 Die Herleitung der Black-Scholes-Differentialgleichung

Die Grundidee der Überlegungen ist die Bildung eines risikolosen Portfolios, welches aus einer Option sowie einer Aktie besteht. Ein risikoloses Portfolio ist möglich, wenn sowohl die Option als auch die Aktie von derselben Unsicherheit, der Schwankung des Aktienkurses, abhängen. Durch diese Kombination wird erreicht, dass der Gewinn oder der Verlust der Aktie bei einer Veränderung des Aktienkurses durch den des Derivates vollständig ausgeglichen wird, sodass der Gesamtwert des Portfolios am Ende mit Sicherheit bekannt ist. Für den Fall, dass der Zinssatz konstant ist und die log-Renditen normalverteilt sind, ist das Portfolio, wenn auch nur für einen kleinen Zeitabschnitt risikolos. Ohne Arbitragemöglichkeiten muss daher die Portfoliorendite dem risikolosen Zinssatz entsprechen.^[32]

Weiterhin geht das Black-Scholes-Modell von einem speziellen Prozess, der sogenannten geometrischen Brownschen Bewegung aus, dem die Aktienkurse folgen.^[33] Dabei ergibt sich der zukünftige Aktienkurs aus der Überlagerung von zwei Prozessen. Nach dem Modell wird unterstellt, dass es zum einen eine natürliche Tendenz oder Drift der Aktie gibt und zum anderen, dass der Kursverlauf der Aktie vom Zufall gesteuert ist.^[34] Dieser Zusammenhang kann anhand der folgenden stochastischen Differential-gleichung dargestellt werden:^[35]

(8)

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Das vor den Variablen steht dabei dafür, dass es sich um infinitesimal kleine Änderungen der Variablen handelt, ist der aktuelle Kurs des Basiswertes, beschreibt die Zeitänderung und ist die Zufallsvariable des Wiener Prozesses.^[36]

Die weiteren Betrachtungen erfolgen unter Zuhilfenahme eines kleinen Zeitintervalls , in diskreten Zeitschritten. Daher werden für die weiteren Formeln die diskreten Versionen benutzt. Die diskrete Version des Aktienkursprozesses lautet:

(9)

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Der Wert der Option ist eine Funktion vom Kurs des Basiswertes sowie der Zeit . Da dem Itô-Prozess^[37] folgt, kann für die Funktion Itôs Lemma^[38] angewendet werden. Daraus folgt, dass ebenfalls dem Itô-Prozess folgt. Daher gilt:

(10)

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Der Wert beschreibt die Änderung von im Zeitintervall .

Da nun der Optionswert und auch die Aktienkurs von derselben Unsicherheit, dem Wiener Prozess, abhängen, ist es möglich ein Portfolio aus einer Aktie und einer Option aufzubauen, so dass die Unsicherheit eliminiert wird. Dieses risikolose Portfolio wird im Black-Scholes-Modell durch die Bildung eines Duplikationsportfolios realisiert. Dieses Portfolio wird so gewählt, dass es zu einem bestimmten Zeitpunkt die gleichen Rückflüsse generieren soll wie die Option. Da das Duplikationsportfolio lediglich aus Finanztiteln besteht, von denen die Preise bekannt sind, kann somit auf den Optionspreis geschlossen werden.^[39] Eine vollständige Eliminierung des Risikos ist nur möglich, wenn das Portfolio ständig angepasst werden kann. Dies kann mit Hilfe des Delta-Hedging^[40] realisiert werden.

Der Besitzer des Duplikationsportfolios hat eine Verkäuferposition in der Option sowie eine Käuferposition von Einheiten der zugrunde-liegenden Aktie. Für den Wert des Duplikationsportfolios gilt daher:

(11)

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Änderung des Duplikationsportfoliowertes im Zeitintervall ∆t kann angegeben werden durch:

(12)

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Beachtet man nun, dass in einem risikolosen Portfolio gelten muss und damit die stochastischen Terme eliminiert werden können, so erhält man nach dem Einsetzen der Gleichung 9 und Gleichung 10 in Gleichung 12 folgende deterministische Differentialgleichung:

(13)

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Wegen der Arbitragefreiheit muss die Änderung des risikolosen Portfolios gleich dem risikolosen Zinssatz sein:

(14)

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Durch Einsetzen der Gleichung 11 und Gleichung 13 in Gleichung 14 und nach abschließender Umformung erhält man schließlich die Black-Scholes-Differentialgleichung:^[41]

(15)

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Die eben hergeleitete Black-Scholes-Differentialgleichung hat viele Lösungen. Eine eindeutige Lösung der Gleichung ist über die Festlegung entsprechender Randbedingungen für die Werte und möglich. Beispiels-weise gilt für eine europäische Kaufoption die Randbedingung:

Die Randbedingung für eine europäische Verkaufsoption lautet:

Dabei ist ein beliebiger Zeitpunkt und der Fälligkeitszeitpunkt der Option.

2.4 Bewertungsformeln nach Black-Scholes

Die Bewertungsformeln für die europäischen Kauf- und Verkaufsoptionen, die wohl bekanntesten Lösungen der Black-Scholes-Differentialgleichung, können durch in der Fachliteratur im Detail beschriebene Transformationen und unter Berücksichtigung der oben dargestellten Randbedingungen hergeleitet werden. Diese lauten:^[42]

(16)

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

(17)

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

mit

Mit Hilfe der beiden aufgeführten Bewertungsformeln kann, unter Verwendung der Parameter Kurs des Basiswertes , Ausübungspreis der Option , Restlaufzeit der Option , risikoloser Zins und Volatilität , der Wert der Option berechnet werden. Mit der Funktion^[43] wird die kumulative Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung bezeichnet.

Die Bewertungsformeln bestehen jeweils aus zwei Termen. Bei der Bewertungsformel des Calls beschreibt der erste Term den Wert des zugrunde gelegten Basiswertes, den der Besitzer der Kaufoption im Falle der Ausübung seines Kaufrechtes beziehen kann. Der zweite Term entspricht dem Wert des Ausübungspreises, den der Inhaber der Option bezahlen muss, wenn er die Option ausübt. Dieser Term vermindert den ersten Term. Die Variablen und geben in beiden Termen das Verhältnis des Basiswertkurses zum Ausgabepreis wider.^[44] Analog lassen sich die zwei Terme des Puts erklären.

2.5 Volatilitäts-Smile

Das Black-Scholes-Modell wurde während der letzten 40 Jahre unzählige Male überprüft. Eine erste Überprüfung führten Black und Scholes bereits 1972 vor Veröffentlichung ihres Artikels selbst durch.^[45] Die Haupterkenntnis der Untersuchungen ist, dass das Black-Scholes-Modell die Realität nicht vollkommen abbildet. Denn die Volatilität ist, entgegen den theoretischen Annahmen, nicht konstant, sondern abhängig vom Ausübungspreis und der Restlaufzeit, und variiert damit. Der Zusammenhang zwischen impliziter Volatilität, dem Ausübungspreis und der Restlaufzeit kann grafisch anhand sogenannter Volatilitätsoberflächen (volatility surfaces)^[46] dargestellt werden.

Einen Querschnitt durch diese Oberfläche zeigt die implizite Volatilität in Abhängigkeit vom Ausübungspreis, bei gleicher Laufzeit der Optionen. Hier kann festgestellt werden, dass der Wert der impliziten Volatilität umso höher ist, je weiter der Ausübungspreis der Option vom aktuellen Aktienkurs entfernt ist.^[47] Dies bedeutet, dass Optionen, die „im und aus dem Geld“ liegen, eine höhere implizite Volatilität haben als vergleichbare Optionen „am Geld“. Die grafische Darstellung dieses Phänomens wird Volatilitäts-Smile genannt.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 1: Volatilitäts-Smile. Dargestellt wird die Abhängigkeit der impliziten Volatilität vom Ausübungspreis. Es wird gezeigt, dass die implizite Volatilität von „im und aus dem Geld“ Optionen höher ist als die von „am Geld“ Optionen. (Entworfen nach: Hull (2012), S. 518.)

Dieser eben dargestellte Verlauf kann bei Währungsoptionen festgestellt werden. Bei Aktienoptionen kann zusätzlich die Besonderheit beobachtet werden, dass der Smile nach rechts gedreht ist und damit fallend verläuft. Hier nimmt die implizite Volatilität mit steigendem Ausübungspreis ab, d. h. Optionen mit einem niedrigeren Ausübungspreis weisen eine höhere implizite Volatilität auf, als Optionen mit einem höheren Ausübungspreis. Dieses Phänomen wird häufig als Volatilitäts-Skew bezeichnet. Interessanterweise trat das Phänomen der Volatilitäts-Schiefe erstmalig nach dem Börsen-Crash im Oktober 1987 auf und kann erst seitdem beobachtet werden.^[48]

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 2: Volatilitäts-Skew. Der Volatilitäts-Skew ist eine besondere Form des Volatilitäts- Smile, der bei Aktienoptionen auftritt. Der Volatilitäts-Skew stellt dar, dass Optionen mit einem niedrigeren Ausübungspreis eine höhere Volatilität aufweisen, als Optionen mit einem höheren Ausübungspreis. (Entworfen nach Hull (2012), S. 521.).

Für das Auftreten des Phänomens des Volatilitäts-Smiles gib es verschiedene Erklärungsansätze, die in der Literatur diskutiert werden.

Eine erste Erklärung benutzt die Feststellung, dass die theoretisch normalverteilten log-Renditen und damit die Log-Normalverteilung der Aktienkurse nicht mit der Realität übereinstimmen. Die Wahrscheinlichkeit hoher Kursausschläge ist deutlich größer als bei der Normalverteilung angenommen. Man sagt auch, dass die Verteilung breite Enden besitzt. Zudem ist die Verteilung häufig zu einer Seite geneigt, also schief.^[49]

Als zweiter Grund werden häufig Marktunvollkommenheiten wie das Auftreten von Transaktionskosten oder auch Steuern genannt. Durch diese Marktunvollkommenheiten wird der Arbitragemechanismus behindert. Damit existiert kein eindeutiger arbitragefreier Preis für die Option, sondern eine Bandbreite von Preisen, die diese Voraussetzung erfüllen.^[50]

Als dritter möglicher Grund soll der Leverage-Effekt genannt werden.^[51] Dieser sogenannte Hebel-Effekt lässt sich dadurch erklären, dass bei einem Kursverlust das Eigenkapital eines Unternehmens sinkt und dieses gezwungen wird Fremdkapital aufzunehmen, wodurch die Fremdkapitalquote steigt. Der Kursverlust führt außerdem dazu, dass Anleger ihre Aktien abstoßen und die Volatilität steigt. Kommt es auf der anderen Seite durch positive Nachrichten wieder zu einer Beruhigung, so werden die Anleger die Aktie schließlich wieder kaufen. Die Volatilität der Aktie sinkt. Dieser positive Effekt ist allerdings kleiner als der negative. Man sagt auch, dass die Volatilität asymmetrisch auf Schocks reagiert.^[52]

Als vierter Grund wird die stochastische Volatilität genannt. Bei dem Modell der stochastischen Volatilität folgt die Volatilität selbst einem stochastischen Prozess und ist damit über die Zeit veränderlich.^[53]

Zudem wird die Möglichkeit von Kurssprüngen beschrieben, die zum Volatilitäts-Smile führen sollen. Seit dem Börsen-Crash im Oktober 1987 bewerten Marktteilnehmer die Möglichkeit eines erneuten Crashes höher als vorher.^[54] Hull bezeichnet diese Angst als Crash-Phobie.^[55]

In einem weiteren Schritt soll betrachtet werden wie sich der Volatilitäts-Smile ändert, wenn die Restlaufzeit abnimmt. Stellt man diese Beziehung dar, kann festgestellt werden, dass der konvexe Verlauf des Volatilitäts-Smiles umso stärker ausgeprägt ist je kürzer die Restlaufzeit ist.^[56] Als Begründungsansatz kann zum einen genannt werden, dass die Marktteilnehmer in der nahen Zukunft vermehrt von hohen Kurssprüngen ausgehen. Zudem wirken sich Kursauschläge des Basiswertes stärker auf kurz-laufende als auf lang-laufende Optionen aus. Das für den Verkäufer daraus resultierende Risiko kann nur durch höhere Prämien und damit höhere implizite Volatilitäten ausgeglichen werden.^[57]

2.6 Kritik am Black-Scholes und seine Weiterentwicklungen

Wie bereits im letzten Abschnitt dargestellt wurde, kann das Black-Scholes-Modell die Realität nicht komplett abbilden. Das Problem sind die Grund-annahmen des Modelles, allen voran die Volatilität, die nicht konstant sondern abhängig vom Ausübungspreis und von der Laufzeit ist, sowie die Renditen, die in der Realität nicht vollständig normalverteilt sind (Smile-Effekt). Infolgedessen wurden neue auf dem Black-Scholes-Modell aufbauende Modelle entwickelt, mit denen es möglich ist den Smile-Effekt abzubilden. Generell werden bei den Weiterentwicklungen zwei Ansätze unterschieden: Zum einen gibt es Modelle, die eine lokale Volatilität beschreiben. Zum zweiten werden Modelle mit einer stochastischen Volatilität genannt.^[58]

Bei den Modellen der lokalen Volatilität wird die Volatilität als deterministische Funktion von Restlaufzeit und Aktienkurs des Basiswertes beschrieben. Für die Differentialgleichung des Aktienkurses ergibt sich damit:^[59]

(18)

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Variable beschreibt dabei den Wiener Prozess. Als Lösungsansatz werden Baumverfahren verwendet, die entweder Bi- oder Trinominalbäume benutzen um den Preisprozess des Basiswertes über beobachtete Optionspreise zu approximieren und dabei berücksichtigen, dass die Volatilität vom Ausübungspreis und der Restlaufzeit abhängig ist.^[60] Zu den wichtigsten Vertretern dieses Ansatzes gehören Derman und Kani (1994), Dupire (1994) sowie Rubinstein (1995). Bei diesen Modellen variiert die Volatilität aber der Kurs des Basiswertes bleibt weiterhin die einzige Unsicherheitsquelle. Daher werden diese Modelle auch Einfaktormodelle genannt.

Bei den Zweifaktormodellen der stochastischen Volatilität folgt die Volatilität selbst einem stochastischen Prozess. Dieser Prozess wird dem Prozess des Aktienkurses zur Seite gestellt, so dass sich folgende zwei-dimensionale stochastische Differentialgleichung ergibt:^[61]

(19)

Dabei beschreiben und die Wiener Prozesse zwischen denen eine Korrelation bestehen kann. Die Parameter und sind wählbar.

Unterschiedliche Korrelationskoeffizienten führen zu unterschiedlichen impliziten Volatilitätsstrukturen. Beispielsweise erhält man einen Smile-Effekt wenn die Korrelation zwischen dem Aktienkurs und der Volatilität null beträgt.^[62] Die Grundlagen für den Ansatz der stochastischen Volatilität lieferten Hull und White (1987), Stein und Stein (1991) sowie Heston (1993), wobei vor allem das Modell von Heston^[63] hervorzuheben ist weil es in der Praxis häufig benutzt wird.

Mit diesen Ansätzen lassen sich der Volatilitäts-Smile sowie weitere besondere Eigenschaften von Finanzzeitreihen erklären.^[64] Jedoch sind auch die eben dargestellten Ansätze nicht ohne Kritikpunkte. Als Kritiker seien zum Beispiel Cont, Fonseca und Durrleman (2002) genannt, die darauf hinweisen, dass weder die Modelle der lokalen Volatilität noch die Modelle der stochastischen Volatilität geeignet sind die zukünftige Bewegung der impliziten Volatilitätsoberfläche zu schätzen.^[65]

Abschließend sei noch das Modell von Merton genannt, der das Black-Scholes-Modell erweitert um Sprünge im Kursverlauf abbilden zu können. Dabei kombiniert das sogenannte Jump-Diffusion-Modell die geometrische Brownsche Bewegung mit vom Poisson-Prozess^[66] generierten Sprüngen. Für den Aktienkurs ergibt sich dadurch folgende Differentialgleichung:^[67]

(20)

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Dabei beschreibt den Poisson-Prozess, die Intensität, die Sprung-höhe. und beschreiben voneinander unabhängige Prozesse.

3 Implizite Volatilitäten

3.1 Theorie der impliziten Volatilitäten

Das Konzept der impliziten Volatilität geht ursprünglich auf McBeth und Merville zurück, die ein Konzept vorschlugen um die Validität des Black-Scholes-Modells zu überprüfen.^[68] Bei ihrem Test betrachteten sie verschiedene Kaufoptionen mit gleichem Basiswert zur gleichen Zeit und berechneten Volatilitäten über die Verwendung der Optionspreise. Die so erhaltene Volatilität wird implizite Volatilität genannt, da sie in den am Markt beobachteten Optionspreisen enthalten ist. In der Praxis arbeiten die Markteilnehmer gewöhnlich mit impliziten Volatilitäten.^[69] Mit ihnen kann die Meinung des Marktes zur Volatilität einer bestimmten Aktie wiedergegeben werden.^[70] Darüber hinaus sollen mit Hilfe der impliziten Volatilität Aussagen über zukünftige Kursschwankungen gemacht werden können. Dieser Grundgedanke war schließlich auch maßgebend für die Einrichtung des VDAX, dem ersten Volatilitätsindex des Deutschen Aktien Indexes (DAX), im Jahr 1994.^[71]

Ein Volatilitätsindex misst die Schwankungsbreite eines zugrundeliegenden Indexes für einen bestimmten Zeitraum. Volatilitätsindizes existieren mittlerweile überall auf der Welt. In den USA gibt es beispielsweise den VIX, der die Stimmung des S&P500 widerspiegelt, in Europa den VSTOXX der den EURO STOXX 50 als Basiswert hat. Auf dem deutschen Aktienmarkt existieren der VDAX, sowie seit 2005 der VDAX-NEW. Beide sollen die erwartete Schwankungsbreite des DAX angeben, betrachten dabei jedoch unterschiedliche Zeiträume in der Zukunft. Der VDAX gibt die erwartete Volatilität in den kommenden 45 Tagen an und verwendet das Black-Scholes-Modell zu Berechnung. Der VDAX-NEW gibt Auskunft über die Volatilität in den nächsten 30 Tagen und verwendet ein neueres Verfahren, welches in Zusammenarbeit der Deutsche Börse AG und Goldman Sachs entstanden ist.^[72] Durch die Verwendung des neuen Berechnungsverfahrens wird der VDAX-NEW replizierbar und damit handelbar.^[73]

Nach dem klassischen Black-Scholes-Modell wird die implizite Volatilität mit Hilfe der Bewertungsformeln der europäischen Kauf- oder Verkaufsoptionen, wie bereits in den Formeln 16 und 17 vorgestellt, berechnet:

mit

Als Datenbasis der Berechnung dienen aktuell am Markt gehandelte Optionen. Die benötigten Parameter sind dabei alle bis auf einen bekannt: Der Kurs des Basiswertes sowie der risikolose Zinssatz sind direkt am Markt ablesbar. Die Restlaufzeit der Option sowie der Ausübungspreis sind im Optionskontrakt definiert. Der einzig unbekannte Parameter ist damit die Volatilität.

Zur Lösung der oben dargestellten Bewertungsformeln bieten sich numerische Näherungsverfahren an. Dabei wird für verschiedene Volatilitäten solange ein theoretischer Optionspreis berechnet, bis gerade die implizite Volatilität gefunden ist, bei der der theoretische Optionspreis mit dem aktuellen Marktpreis der Option übereinstimmt.^[74] Die implizite Volatilität wird damit vom Markt bestimmt und gibt die Meinung der Börsenteilnehmer über die zukünftige Volatilität wider.^[75]

Als mögliche numerische Näherungsverfahren sollen das Bisektionsverfahren^[76], das Newton-Raphson-Verfahren oder dessen Weiterentwicklung das Gauß-Newton-Verfahren genannt werden. Da es in der Praxis am häufigsten benutzt wird^[77], soll im Folgenden die Methodik des Newton-Raphson-Verfahrens vorgestellt werden.

Beim Newton-Raphson-Verfahren wird ausgehend von einem Anfangswert der Volatilität zuerst über die Bewertungsformel der Kaufoption der zugehörige Optionspreis berechnet, um danach nach der Formel der Newtoniteration den neuen Volatilitätswert zu bestimmen. Iterativ wird dies so lange wiederholt bis die Differenz aus dem Anfangswert der Volatilität und dem neu ermittelten Wert ausreichend klein ist. Ob überhaupt eine implizite Volatilität ermittelt werden kann und wie oft die Schleife durchlaufen, hängt dabei vor allem von der Qualität des Startwertes der Volatilität ab.^[78] Die allgemeine Formel der Newtoniteration lautet:^[79]

(21)

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Variable beschreibt dabei den Marktpreis der Option. Die Variable wird auch als Vega^[80] der Option bezeichnet. Diese gibt an, um welchen Betrag sich der Optionspreis verändert, wenn die Volatilität des Basiswerts um eine Einheit steigt bzw. fällt. Ein hohes Vega bedeutet somit, dass der Optionspreis verhältnismäßig stark auf Veränderungen reagiert und vice versa.

Vega gehört zu den sogenannten „Griechen“. Mit diesem Begriff werden die Sensitivitätskennzahlen von Optionspreisen beschrieben, die ausdrücken wie sich der Optionspreis ändert wenn einer der Faktoren variiert wird. Neben Vega existieren noch folgende Kennzahlen:^[81]

Delta : Delta misst die Sensitivität des Optionspreises bezüglich einer Änderung des zugrundeliegenden Basiswertes. Außerdem ist Delta eng mit dem Black-Scholes-Modell verbunden. Dort findet es Anwendung um das Risiko abzuschalten (Hedging). Dies geschieht indem ständig angepasst wird.

Gamma : Gamma ist die zweite Ableitung des Optionspreises nach dem Preis des Basiswertes. Damit misst Gamma die Sensitivität des Deltas bezüglich einer Änderung des Basiswertkurses. Man nennt Gamma auch Hedge-Risiko.

Theta : Theta gibt die Veränderung des Optionspreises bei einer abnehmenden Restlaufzeit an.

Rho : Rho drückt die Sensitivität des Optionspreises bezüglich eines Änderung des risikolosen Zinssatzes aus.

Der Vorteil des Newton-Raphson-Verfahrens liegt vor allem darin, dass dieses Verfahren bereits nach zwei bis drei Wiederholungen gute Ergebnisse liefert^[82] und es damit im Vergleich zum Bisektionsverfahren normalerweise schneller ist.

Da für einen Basiswert verschiedene Optionen existieren, können damit auch vielfältig verschiedene implizite Volatilitäten berechnet werden. Daher stellt sich abschließend die Frage: Wie kann aus den Einzelwerten eine implizite Volatilität gemacht werden, die repräsentativ ist? Zur Lösung dieser Fragestellung werden in der Literatur unterschiedliche Verfahren vor-geschlagen, die eine Gewichtung der einzelnen Volatilitäten erlauben. Als einfachstes Beispiel sei die Bildung eines Durchschnittswertes genannt. Darüber hinaus gibt es Verfahren, die eine Gewichtung mit der partiellen Ableitung der Option nach der Volatilität erlauben. Damit wird erreicht, dass der Einfluss der Optionen, welche stark auf die Volatilitätsanpassung reagieren, erhöht wird. Als letztes Beispiel sei die Minimierung der quadratischen Fehlerabweichung genannt. Bei diesem Verfahren wird diejenige Volatilität gewählt bei welcher die quadratische Abweichung des Optionswertes von der Marktprämie minimal ist. Welches der vorgestellten Verfahren am besten geeignet ist um die repräsentative implizite Volatilität zu berechnen, kann nicht endgültig bestimmt werden.^[83]

3.2 Berechnung der Impliziten Volatilität am Beispiel von DAX-Optionen

3.2.1 Prämissen

Dem Black-Scholes-Modell sind die in Kapitel 2.2 aufgezählten Annahmen zu Grunde gelegt. Bevor im Folgenden mit der Berechnung der impliziten Volatilitäten begonnen werden soll, muss zunächst geprüft werden ob sich das Black-Scholes-Modell generell als Basis eignet um implizite Vola-tilitäten zu berechnen. Dazu müssen die Modellprämissen kritisch diskutiert werden.

Als Datenbasis sollen in dieser Arbeit Optionen des Deutschen Aktien Indexes (kurz: DAX) verwendet werden. Der Dax ist der Leitindex der Deutsche Börse AG. Mit ihm werden die 30 größten, umsatzstärksten und an der Frankfurter Börse gelisteten Unternehmen Deutschlands abgebildet. Den Dax gibt es seit 1988. Mit dem Handel von DAX-Optionen (ISIN DE0008469495) wurde 1991 an der Deutschen Terminbörse (DTB) begonnen. Heute werden Dax-Optionen an der Eurex, der European Exchange, einer der größten Terminbörsen weltweit gehandelt. Hinsichtlich Ausübungspreisen und Laufzeiten existiert eine Vielzahl unterschiedlicher Dax-Optionen. Die maximale Laufzeit einer Dax-Option beträgt 60 Monate. Der letzte Handels- und zugleich Schlussabrechnungstag ist der dritte Freitag des Verfallmonats. Der Kontraktwert einer Dax-Optionen ist 5€ pro Indexpunkt, wobei die minimale Preisveränderung 0,1 Punkte beziehungsweise 0,50€ beträgt. Die Dax-Option ist eine Option europäischer Art, deren Erfüllung durch Barausgleich erfolgt.

Die in Kapitel 2.2 dargestellten Annahmen lassen sich grundsätzlich in zwei Kategorien unterteilen. Zum einen gibt es eine Vielzahl von Annahmen die Einschränkungen an die Umwelt darstellen. Daneben gibt es Annahmen über den zugrundeliegenden Aktienkursprozess.

Zu den Marktbedingungen eines vollkommenen Kapitalmarktes gehören die Markttransparenz, die symmetrische Informationsverteilung, die Freiheit von Steuern und Transaktionskosten, sowie die Annahme rationaler Marktteilnehmer. Das Ergebnis des vollkommenen Kapitalmarktes ist unter anderem das Fehlen von Arbitragemöglichkeiten.^[84] Obwohl der Kapitalmarkt in der Realität nicht all diese Anforderungen erfüllt, ist es heute vor allem durch den Fortschritt der Technik und die Nutzung der Informations- und Telekommunikationstechnik möglich auf Teilmärkten, wie beispielsweise der EUREX, die eine reine Computerbörse darstellt, annähernd ideale Marktbedingungen zu schaffen. Die Annahmen, dass die Investoren zu einem einheitlichen Zinssatz Geld leihen oder verleihen können sowie dass dieser Zinssatz während der Laufzeit bekannt und konstant ist, werden insgesamt als unbedenklich bewertet. Zwar sind Zinssätze in der Realität durchaus Schwankungen unterzogen, jedoch sind diese Schwankungen, betrachtet man beispielsweise den Zeitraum des letzten Jahres, eher gering.^[85] Berechnet man außerdem die Kennzahl Rho, welche die Sensitivität des Optionspreises bezüglich einer Zinssatzänderung widergibt, kann darüber hinaus festgestellt werden, dass der Einfluss der Zinssatzänderungen auf den Optionspreis gering ist. Ein nennenswerter Effekt ergibt sich erst für tief im Geld notierende Optionen mit langer Restlauzeit.^[86] Da der Dax ein Performanceindex ist, bei dem der Kurs unmittelbar um ausgeschüttete Dividenden korrigiert wird, gilt die Annahme, dass es während Laufzeit der Optionen zu keinen Dividendenzahlungen kommen darf als erfüllt. Gleiches gilt für Annahme der europäischen Ausübung: Die Dax-Option ist eine Option europäischen Typs. Ebenfalls unkritisch ist die Prämisse der möglichen Leerverkäufe. Obwohl seit 2010 ungedeckte Leerverkäufe in Deutschland grundsätzlich verboten sind, können diese über das Mittel der Leihe (gedeckte Leerverkäufe) nachgebildet werden. Zusätzlich gibt es Ausnahmen für Wertpapierdienstleistungsunternehmen, die weiterhin ungedeckte Leerverkäufe tätigen dürfen.

Dagegen kritischer zu betrachten sind die Annahmen der zweiten Kategorie, dem unterstellten Aktienkursprozess. Dazu gehören die Annahmen, dass der Aktienkurs einer geometrischen Brownschen Bewegung folgt was wiederum impliziert dass die log-Renditen normalverteilt sind, sowie dass die Volatilität konstant ist.

Der Test auf Normalverteilung soll in zwei Schritten geschehen. Als erstes sollen visuelle Prüfverfahren angewendet werden. Im zweiten Schritt soll die Normalverteilung anhand der zentralen Verteilungsmomente geprüft werden.^[87] Dazu wurden für den Zeitraum vom 15.Januar 2013 bis zum 14.Januar 2014 die Schlusskurse des DAX^[88] notiert und daraus mit Hilfe von Formel 2 die täglichen log-Renditen berechnet. Um die Häufigkeitsverteilung der log-Renditen grafisch darzustellen, wird die Form des Histogramms gewählt, eine Methode, die typischerweise eingesetzt wird um die Wahrscheinlichkeitsdichte zu schätzen.^[89]

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 3: Histogramm der täglichen log–Renditen des DAX. Betrachtet wird der Zeitraum vom 15.01.2013 bis 14.01.2014. Auf der Abszisse sind die jeweiligen log- Renditen angegeben. Auf der Ordinate wird die Häufigkeit angegeben, an de- nen die log-Rendite in dem an der X-Achse spezifizierten Intervall liegt. (Quelle: Eigene Berechnungen)

Betrachtet man das Histogramm, kann erkannt werden, dass dieses nur bedingt der idealen Gauß-Glockenverteilung folgt. Außerdem kann man erkennen, dass die Verteilung an den Rändern mehr Masse besitzt, als bei einer Normalverteilung angenommen wird. Ein wichtiger Parameter bei der Darstellung des Histogramms ist die gewählte Klassenbreite, die den Detailierungsgrad des Histogramms maßgeblich bestimmt. Durch eine falsche Wahl der Klassenbreite wird das Ergebnis unter Umständen verfälscht und Abweichungen der Normalverteilung können übersehen werden. Daher soll die Annahme der Normalverteilung zusätzlich mit einem weiteren grafischen Prüfverfahren, dem Mittel des Quantil-Quantil-Plots, geprüft werden:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 4: Quantil-Quantil-Plot der log-Renditen. Betrachtet wird der Zeitraum vom 15.01.2103 bis 14.01.2014. Vor allem im oberen und im unteren Quantil sind starke Abweichungen von der Winkelhalbierenden erkennbar. (Quelle: Eigene Berechnungen)

Beim QQ-Plot werden die Quantile der Beobachtungen gegen die entsprechenden Quantile der Normalverteilung abgetragen. Liegt die Normalverteilung vor, liegen die Ergebnisse linear auf der Winkelhalbierenden. Abbildung 4 zeigt allerdings, dass dies nicht der Fall ist. Vor allem im oberen und im unteren Quantil sind starke Abweichungen und Ausreißer erkennbar.

Zur Charakterisierung der Verteilung der log-Renditen sollen die zentralen Momente der Verteilung berechnet werden. Dazu gehören der Mittelwert, die Standardabweichung, die Schiefe sowie die Kurtosis.^{[90] [91]}

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Tabelle 2: Berechnung der zentralen Momente anhand der log-Renditen. Die Ergebnisse sind in den Zeilen zwei bis fünf ablesbar. (Quelle: Eigene Berechnungen)

Die Normalverteilung wird durch den Mittelwert und die Standardabweichung vollständig beschrieben. Da eine Normalverteilung eine symmetrisch aufgebaute Verteilung ist, beträgt deren Schiefe null. Bei einer linksschiefen Verteilung ist der Wert der Schiefe negativ, bei einer rechtsschiefen Verteilung dagegen positiv. Die Kurtosis beschreibt die Wölbung der Verteilung. Eine Normalverteilung hat eine Kurtosis von drei.^[92] Ist der Wert der Kurtosis größer als drei wird die Verteilung als leptokurtisch bezeichnet. Eine leptokurtische Verteilung ist insgesamt spitzer als die Normalverteilung mit mehr Masse um den Mittelwert herum und ungewöhnlich großen Renditeveränderungen an den Rändern, sogenannten Fat Tails. Diese Fat Tails haben bei der Normalverteilung eine Wahrscheinlichkeit von null und sollten daher nicht auftreten. Bei einem Wert unter drei wird die Verteilung als platykurtisch bezeichnet, d. h. sie ist insgesamt flacher als die Normalverteilung.^[93]

Die Ergebnisse der Berechnung zeigen eine leicht linksschiefe Verteilung mit leptokurtischem Verlauf.

Aus den Ergebnissen der visuellen Prüfungen, vor allem den starken Abweichungen beim Quantil-Quantil-Plot, sowie der Berechnung der zentralen Momente wird die Annahme der Normalverteilung daher insgesamt abgelehnt.

Als letzte Annahme bleibt die Annahme der konstanten Volatilität. Ruft man sich die Erkenntnisse aus Kapitel 2.5 ins Gedächtnis, kann diese Annahme allerdings schnell abgelehnt werden. Denn dort wurde bereits festgestellt, dass die Volatilität keineswegs konstant ist, sondern, da sie abhängig vom Ausübungspreis und der Restlaufzeit ist, variiert. Stellt man die Volatilität abhängig vom Ausübungspreis grafisch dar, tritt das Phänomen des Volatilitäts-Smile auf und dieser Effekt ist umso stärker ausgeprägt je kürzer die Restlaufzeit der Option ist. Auch Black stellte bereits 1976, 3 Jahre nach der Veröffentlichung des Black-Scholes-Modells, fest: „If the volatility of a stock changes over time, the option formulas that assume a constant volatility are wrong“.^[94]

Damit kann zusammengefasst werden, dass die nicht konstante Volatilität sowie die Abweichung der log-Renditeverteilung von der Normalverteilung als problematisch einzuschätzen sind.

3.2.2 Vorgehen

Datenbasis und Aufbereitung

Die vorliegende Arbeit soll nun die Bestimmung von impliziten Volatilitäten anhand des Black-Scholes-Modells untersuchen. Da bei Gültigkeit der Put-Call-Parität die implizite Volatilität von Kauf- und Verkaufsoptionen gleich hoch sein muss, werden hier im Weiteren nur noch die Kaufoptionen des DAX betrachtet. Um die notwendigen Informationen zur Berechnung zu erhalten, wurden für den Zeitraum vom 01. Dezember 2013 bis 15. Januar 2014 über das Wertpapierinformationssystem (WPI) der Börsen-Zeitung die folgenden Informationen notiert:

- Täglicher Schlusskurs des DAX
- Tägliche Schlusskurse (settlement price) für alle im Zeitraum angebotenen Dax-Calls

Da die Rohdaten pro Handelstag in unterschiedlicher Reihenfolge notiert sind, müssen diese als erstes sortiert werden. Damit wird ein einheitliches Format erreicht. Danach werden die Daten hinsichtlich Plausibilität untersucht, d. h. eventuell falsch übertragene Werte sollen aussortiert oder korrigiert werden. Weiterhin fällt auf, dass die Tage des 24.12.2013 und des 31.12.2013 zwar als Handelstage gelistet werden, an ihnen aber kein Handel stattgefunden hat und daher nur die identischen Preise der Vortage notiert wurden. Daher werden beide Tage aus der weiteren Betrachtung entfernt. Weiterhin entfernt werden Optionen vom 20.12.2013 mit einer Fälligkeit am selben Tag. Für diese Optionen kann nach der Black-Scholes-Formel keine implizite Volatilität berechnet werden.

Im Anschluss daran werden die Daten gefiltert. Dazu wird überprüft ob die vorliegenden Daten nicht die Wertgrenzen verletzen. Als Wertgrenzen einer Kaufoption gelten:^[95]

Diese Überprüfung ist wichtig, denn wird eine der Wertgrenzen verletzt, wäre es möglich für einen Marktteilnehmer einen Arbitragegewinn zu erzielen. Für Optionen, die diese Wertgrenzen verletzen, kann keine implizite Volatilität berechnet werden.^[96] Sie werden daher aus der weiteren Betrachtung entfernt. Durch die Überprüfung der Wertuntergrenzen werden 1201 Datensätze entfernt. Verletzungen der Wertobergrenzen gibt es nicht.

Damit steht für die weitere Berechnung folgende Datenbasis zur Verfügung:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Tabelle 3: Übersicht über die verwendeten Datensätze.

Um den Preis der Kaufoption zu erhalten, werden weiterhin ein risikoloser Zinssatz, ein Wert für die Volatilität, sowie die Angabe der Restlaufzeit benötigt. Diese können jedoch relativ unproblematisch ermittelt werden:

Um einen risikolosen Zinssatz zu erhalten, werden in verschiedenen empirischen Untersuchungen festverzinsliche Staatsanleihen, Interbanken-Geldmarktsätze, wie der Euribor, oder auch die durchschnittliche Umlaufrendite als Grundlage verwendet.^[97] Eine wichtige Referenz ist die Deutsche Börse AG. Sie benutzt den Euribor um ihre Volatilitätsindizes VDAX und VDAX-NEW zu berechnen.^[98] Der Euribor (Euro Interbank Offered Rate) ist der durchschnittliche Zinssatz, den europäische Banken im Geschäft untereinander benutzen. Weiterhin gilt, dass der Euribor nicht nur einen einzelnen Zinssatz beschreibt, sondern vielmehr eine ganze Familie von Euribor-Zinssätzen. Aktuell gibt es acht verschiedene Euribor-Zinssätze mit Laufzeiten von einer Woche bis zu maximal zwölf Monaten. Daher verwendet die vorliegende Arbeit auch die Euribor-Zinssätze und ordnet den Optionen entsprechend ihres Handelstages den zu ihrer Restlaufzeit konformen Euribor zu. Sollte für eine Restlaufzeit nicht ein exakt passender Zinssatz verfügbar sein, wird der laufzeitnächste Zinssatz gewählt.^[99] Für Optionen mit einer Laufzeit von über einem Jahr wird einheitlich der 12-Monats-Euribor verwendet, weil eine längere Laufzeit des Euribor nicht existiert und eine Extrapolation nicht sinnvoll ist.^[100]

Wie bereits erwähnt wurde, ist die Volatilität nicht direkt beobachtbar. Um für die Berechnung des Optionspreises einen Startwert der Volatilität zu erhalten, können entweder vergangene Kursverläufe benutzt werden um daraus die historische Volatilität zu berechnen, oder alternativ ein Verfahren zur Ermittlung des Startwertes. Da das Newton-Raphson-Verfahren, wie bereits in Kapitel 3.1 erwähnt wurde, besonders sensibel auf den Startwert der Volatilität reagiert, soll hier das von Manaster und Köhler vorgeschlagene Verfahren verwendet werden um einen Startwert der Volatilität zu ermitteln. Die Formel zur Berechnung lautet:^[101]

(22)

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Restlaufzeit, als Differenz aus dem aktuellen Handelstag zum Verfallstag der Option, geht als Jahresbruchteil in die Bestimmung des Optionspreises ein. Zur Bestimmung dieses Jahresbruchteils werden Kalendertage verwendet.

Die Bestimmung der impliziten Volatilität

In Kapitel 3.1 wurde bereits darauf hingewiesen, dass die Black-Scholes-Bewertungsformel nicht nach der Volatilität umgestellt werden kann und daher auf ein Näherungsverfahren zurückgegriffen werden muss um die gesuchte implizite Volatilität zu erhalten. In der vorliegenden Arbeit soll dazu das Newton-Raphson-Verfahren verwendet werden.^[102] Zur Bestimmung der gesuchten impliziten Volatilitäten wurde in VBA eine Funktion implementiert, die innerhalb von Excel aufgerufen werden kann.

Beim Aufruf der Funktion müssen Werte für folgende sechs Parameter übergeben werden: Aktienkurs , in diesem Fall Schlusskurs des DAX, Ausübungspreis der Option , risikoloser Zinssatz , Restlaufzeit als Jahresbruchteil , vom Markt gegebener Optionspreis , in diesem Fall der Schlusskurs der Option, sowie der Startwert der Volatilität . Die Funktion durchläuft nach Aufruf die folgenden Schritte: Zuerst wird die Sensitivitätskennzahl Vega berechnet. In einem zweiten Schritt wird mit Hilfe der Black-Scholes-Bewertungsformel (Formel 16) der Preis der Kaufoption berechnet. Im Anschluss daran wird durch Aufruf der Newtoniteration (Formel 21) die neue Volatilität ermittelt. Dabei werden die eben berechneten Werte für Vega sowie der Preis der Kaufoption als Parameter verwendet. Die eben genannten Schritte werden solange innerhalb einer Schleife wiederholt bis eines der beiden Abbruchkriterien erfüllt ist: Entweder ist der Betrag der Differenz aus errechneter Volatilität und Anfangswert kleiner als die gewählte Toleranz von 10-5 oder die Schleife wurde bereits einhundertmal durchlaufen. Bei Erreichen eines Abbruchskriteriums stoppt die Schleife und gibt als Ergebnis die implizite Volatilität der Kaufoption zurück. Wird keines der beiden Kriterien erfüllt, startet die Schleife von vorne.

Um zu prüfen ob die berechnete implizite Volatilität tatsächlich richtig ist, wird in einem Gegentest der Preis der Kaufoption berechnet. Dieses Ergebnis kann mit dem Marktpreis der Option verglichen werden.

Der komplette Quellcode der Funktion ist im Anhang unter Punkt 5.6 nachzulesen.

3.2.3 Ergebnisse

Die Berechnung der impliziten Volatilitäten der 19028 Datensätze erbrachte folgendes Ergebnis:

Für die sehr große Anzahl von 19016 Datensätzen, was 99,9 % entspricht, kann eine implizite Volatilität berechnet werden. Setzt man die berechneten Volatilitäts-Werte in die Black-Scholes-Formel ein und ermittelt damit den Optionspreis, so stimmen die Optionspreise überein. Doch neben diesen positiven Ergebnissen fallen zwei Dinge auf: Zum einen gibt es eine kleine Anzahl von 12 Datensätzen, für die keine implizite Volatilität berechnet werden kann. Außerdem treten bei einer großen Anzahl der Optionen ungewöhnlich hohe Volatilitäts-Werte auf.

Die ermittelten Volatilitätswerte sollen nun weiter untersucht werden. Da die implizite Volatilität, wie bereits mehrfach erwähnt wurde, abhängig vom Ausübungspreis und der Restlaufzeit ist, soll herausgefunden werden wie sich diese beiden Faktoren auf die impliziten Volatilitäten auswirken. Als erstes soll die implizite Volatilität in Abhängigkeit vom Ausübungspreis betrachtet werden. Um diese Beziehung grafisch darzustellen werden Kaufoptionen vom 06.01.2014 mit einer Restlaufzeit von 11 Tagen verwendet. Der DAX-Schlusskurs an diesem Tag lag bei 9428 Punkten. Der Verlauf der erhaltenen Volatilitätskurve zeigt, dass die implizite Volatilität, ausgehend von einem gewählten Ausübungspreis von 8600 und einer Volatilität von 26,8 % zunächst sinkt um bei einem Ausübungspreis von 9600, was in etwa dem DAX Schlusskurs entspricht, ein Minimum von 13,97 % zu erreichen und danach wieder ansteigt. An dem dargestellten Verlauf kann sehr deutlich der Volatilitäts-Smile erkannt werden.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 5: Verlauf der impliziten Volatilität bei 11 Tagen Restlaufzeit. Basis sind DAX-Calls vom 06.01.2014. Das Minimum liegt bei 9600. (Quelle: Eigene Berechnungen)

Untersucht man im Vergleich den Volatilitäts-Smile bei Optionen mit längerer Restlaufzeit, dann kann festgestellt werden, dass sich bei diesen das Minimum der impliziten Volatilität verschiebt. Von einem Minimum, das in etwa „am Geld“ liegt, verschiebt sich das Minimum mit zunehmender Restlaufzeit nach rechts, hin zu „aus dem Geld“ beziehungsweise „weit aus dem Geld“.^[103] Außerdem kann festgestellt werden, dass sich auch der Smile-Effekt verändert. Ausgehend von einem stark ausgeprägten u-förmigen Verlauf bei kurzer Restlaufzeit verändert sich der Smile mit zunehmender Restlaufzeit hin zu einem flacheren, linear abfallenden Smile:^[104]

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 6: Verlauf der impliziten Volatilität bei 165 Tagen Restlaufzeit. Basis sind DAX- Calls vom 06.01.2014. Das Minimum liegt bei 10800. (Quelle: Eigene Berechnungen)

Die Abhängigkeit der impliziten Volatilität von der Restlaufzeit bei gleichen Ausübungspreisen wird Term Structure genannt.^[105] Auch diese soll anhand der Datensätze vom 06.01.2014 dargestellt werden:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 7: Term Structure der impliziten Volatilität beim Ausübungspreis von 8600. Basis sind DAX-Calls vom 06.01.2014. (Quelle: Eigene Berechnungen)

Der dargestellte Verlauf der Term Structure von Kaufoptionen mit einem Ausübungspreis von 8600 zeigt, dass die implizite Volatilität bei geringen Restlaufzeiten am höchsten ist und bei zunehmender Restlaufzeit zunächst sinkt um dann auf einem relativ konstanten Niveau zu verbleiben. Für Optionen „am Geld“ ergibt sich dagegen insgesamt ein flacher Kurvenverlauf, d. h. die Volatilität bei Optionen „am Geld“ ist relativ konstant.^[106] Allerdings bemängelt Dartsch, dass die eben dargestellten Verläufe nicht typisch sein müssen und für die Term Structure durchaus auch andere Strukturen möglich sind.^[107]

Bei der Ermittlung der impliziten Volatilitäten traten zwei Probleme auf. Zum einen konnte nicht für alle Datensätze eine Volatilität bestimmt werden. Außerdem kam es zu Volatilitätswerten, die illusorisch hoch, sehr oft sogar dreistellig, waren. Dies soll nun untersucht werden.

Am 08.01.2014 gibt es einige Datensätze, für die das Newton-Raphson-Verfahren keinen Volatilitäts-Wert ermitteln konnte. Betrachtet man die Optionen etwas genauer, kann schnell herausgefunden werden, dass all diese Optionen eine Gemeinsamkeit haben: Sie liegen alle „tief im Geld“, d. h. sie weisen eine Moneyness^[108] von >1,15 auf und alle haben eine Restlaufzeit von einem halben bis in etwa einem Jahr. Als Beispiel seien hier vier der Optionen dargestellt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Tabelle 4: Optionen ohne implizite Volatilität. Dargestellt sind Optionen, für die nach dem Newton-Raphson-Verfahren keine implizite Volatilität berechnet werden konnte. (Quelle: Eigene Berechnungen)

Die Wertgrenzen werden von den dargestellten Optionen nicht verletzt. Die Ursache der Fehlbewertung scheint zu sein, dass es für diese Datensätze tatsächlich keine implizite Volatilität gibt. Beispielsweise führt die Newtoniteration beim Datensatz mit dem Ausübungspreis von 3200 dazu, dass nach der achten Iteration ein Vorzeichenwechsel auf eine negative Volatilität von -1290,87 % stattfindet und letztendlich nach der neunten Wiederholung ein Volatilitätswert von 7142760,10 % ermittelt wird, der so groß ist, dass das Verfahren schließlich abbricht. Auch Merk stellt ähnliche Probleme bei „tief im Geld“ liegenden Optionen fest. Allerdings treten dessen Probleme bei Datensätzen auf, die nur noch wenige Tage Restlaufzeit haben.^[109]

Als zweite Besonderheit kam es bei der Berechnung zu unrealistisch hohen Volatilitäten. Dabei wurden zum Teil Volatilitäten bis über 1000 % errechnet. Hier sind zwei der extremen Beispiele vom 10.12.2014 dargestellt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Tabelle 5: Optionen mit ungewöhnlich hoher Volatilität. Dargestellt sind Optionen, für die nach dem Newton-Raphson-Verfahren eine besonders hohe implizite Volatilität berechnet wurde. (Quelle: Eigene Berechnungen)

Auch diese Optionen haben gemein, dass sie „tief im Geld“ liegen. Auffällig hier ist allerdings, dass diese sehr hohen Volatilitäten vor allem bei kurzen Restlaufzeiten auftreten. Das Problem dieser „tief im Geld“ liegenden Optionen ist, dass deren Marktpreispreis und innerer Wert nahezu übereinstimmen, da über deren Ausübung kein Zweifel mehr besteht. Ihr Zeitwert ist daher beinahe null.^[110] Betrachtet man die dargestellten Optionen, kann diese Aussage bestätigt werden. Beispielsweise liegt der Marktpreis der ersten Option bei 8129,20 und ihr innerer Wert beträgt 8114,44.

Zusammengefasst kann damit festgehalten werden, dass sich das Black-Scholes-Modell zusammen mit dem numerischen Näherungsverfahren von Newton und Raphson gut eignet um implizite Volatilitäten zu berechnen. Lediglich bei einer kleinen Anzahl von zwölf Datensätzen, konnte keine Volatilität berechnet werden. Daneben wurden für weitere Datensätze zum Teil unrealistisch hohe Volatilitäten ermittelt. Alle diese Optionen weisen das Merkmal auf „tief im Geld“ zu liegen.

Um bei der Berechnung zu Ergebnissen zu kommen, muss darauf geachtet werden, dass ein geeigneter Startwert für die Volatilität gewählt wird. Daher sollte am besten ein Startwert nach dem Verfahren von Manaster und Köhler, wie in Formel 22 dargestellt, errechnet werden. Dies wurde in einem Test mit der historischen Volatilität als Startwert verifiziert, bei welchem für eine weitaus größere Zahl von Datensätzen keine Volatilität ermittelt werden konnte. Weiterhin konnte über das Mittel des Volatilitäts-Smiles und der Term Structure dargestellt werden, dass die implizite Volatilität abhängig vom Ausübungspreis und auch der Restlaufzeit ist und variiert, die Annahme der konstanten Volatilität daher nicht stimmt. Zudem ist der Smile-Effekt bei kürzeren Restlaufzeiten stärker ausgeprägt und verläuft bereits bei mehr als 45 Tagen Restlaufzeit linear fallend.^[111]

3.3 Kritische Würdigung

Die hier vorgestellten Ergebnisse stimmen mit dem in der gängigen Literatur gezeigten Ergebnissen überein. Auch andere Autoren, wie beispielsweise Merk stellten fest, dass das Newton-Raphson-Verfahren prinzipiell geeignet ist um korrekte Werte für die gesuchte implizite Volatilität zu ermitteln.^[112] Ebenfalls trifft Merk auf die Probleme nicht existenter oder zu großer Volatilitäts-Werte bei „tief im Geld“ liegenden Optionen mit kurzer Laufzeit.^[113]

Weiterhin konnte festgestellt werden, dass ein Volatilitäts-Smile mit u-förmigem Verlauf nur bei kurzen Restlaufzeiten auftritt und mit zunehmender Laufzeit abnimmt. Auch Wallmeier stellt fest, dass ein „echter“ Smile-Effekt nur bei Restlaufzeiten unter 45 Tagen auftritt.^[114] Bolek stellt außerdem fest, dass die implizite Volatilität nur bei kürzeren Restlaufzeiten deutlich abhängig von der Ausübungswertklasse ist.^[115]

Um das Problem der zu hohen beziehungsweise nicht existenten impliziten Volatilitäten zu umgehen, schlagen eine Reihe von Autoren, unter anderem Dartsch vor, die Auswahl der Optionen auf „am Geld“ Optionen zu beschränken.^[116] Damit kann erreicht werden kann, dass stets korrekte Volatilitäts-Werte ermittelt werden. Auch werden der Smile-Effekt und die daraus resultierenden Fehler vernachlässigt.^[117] Daneben weisen diese Optionen die höchste Liquidität auf und sind daher am besten geeignet die Informationsverarbeitung am Markt widerzuspiegeln.^[118] Auch Harvey und Whaley benutzen in ihrer Untersuchung des S&P 100 Index nur Optionen, die „am Geld“ liegen weil diese die meisten Informationen über die Volatilität enthalten. Dies leiten sie über die Sensitivitätskennzahl Vega her.^[119]

Die eben dargestellte Reduktion der Datensätze auf „am Geld“ Optionen wäre eine mögliche Anpassung und Erweiterung der vorliegenden Arbeit.

[...]

^[1] Vgl. Hull (2012), S. 31.

^[2] Vgl. Geyer / Uttner (2007), S. 47.

^[3] Vgl. Acworth (2013), S. 22. Die Zahlen sind Angaben für das Jahr 2012.

^[4] Vgl. Geyer / Uttner (2007), S. 22.

^[5] Eine gute Darstellung der Teile des Optionspreise kann bei Geyer / Uttner (2007), S. 62 gefunden werden.

^[6] Vgl. Adelmeyer / Warmuth (2009), S. 114.

^[7] Vgl. Adelmeyer / Warmuth (2009), S. 115.

^[8] Vgl. Geyer / Uttner (2007), S. 64.

^[9] Vgl. Hull (2012), S. 278.

^[10] Eine Beschreibung der Volatilität folgt in Kapitel 2.1.3.

^[11] Vgl. Hull (2012), S. 286.

^[12] Unter Arbitrage versteht man in der Finanzmathematik einen risikolosen Gewinn. Dieser kann beispielsweise durch die Ausnutzung von Preis- oder Kursunterschieden für das gleiche Handelsobjekt realisiert werden.

^[13] Vgl. Adelmeyer / Warmuth (2009), S. 130.

^[14] Vgl. Stoll (1969).

^[15] Vgl. Hull (2012), S. 287.

^[16] Vgl. Shirayev (1999), S. 345.

^[17] Weitere Risikokennzahlen sind der Value at Risk (VaR), Maximum Drawdown sowie der Sharpe Ratio.

^[18] Vgl. Shirayev (1999), S. 345.

^[19] Vgl. Franke / Härdle / Hafner (2004), S. 93.

^[20] Vgl. Vogt (2011), S. 9.

^[21] Vgl. Goldman Sachs (2006), S. 12.

^[22] Vgl. Franke / Härdle / Hafner (2004), S. 93.

^[23] Vgl. Merk (2011), S. 126.

^[24] Vgl. Hull (2012), S. 390.

^[25] In den Arbeiten von Dartsch (1998), S. 65.; Thiel (2001), S. 170.; Merk (2011), S. 272 f. wird eine große Anzahl von Argumenten aufgelistet, die für die Nutzung der Kalendertage spricht.

^[26] Hull (2012), S. 389.

^[27] Deutsche Börse (2007), S. 4.

^[28] Vgl. Goldman Sachs (2011), S. A2.

^[29] Vgl. Black / Scholes (1973), S. 640.; Goldman Sachs (2011), S. A3.

^[30] Unter einem Leerverkauf ist grundsätzlich der Verkauf von Waren oder Finanztiteln zu verstehen, über welche der Verkäufer zum Zeitpunkt des Verkaufes nicht verfügt.

^[31] Vgl. Black / Scholes (1973), S. 641.

^[32] Vgl. Hull (2012), S. 392 f.

^[33] Vgl. Franke / Härdle / Hafner (2004), S. 69.

^[34] Vgl. Hahnenstein / Wilkens / Röder (2000), S. 4.

^[35] Die Herleitung folgt Hull (2012), S. 394. Daher wird auch die Notation übernommen.

^[36] Der Wiener Prozess, welcher auch Brownsche Bewegung genannt wird, ist ein stetiger stochastischer Prozess mit unabhängigen, stationären Zuwächsen mit einem Erwartungswert von 0, d. h. er besitzt keinen Drift, und einer Varianz, die dem Zeitintervall entspricht.

^[37] Benannt nach dem japanischen Mathematiker Itô Kiyoshi. Der Itô-Prozess ist ein stochastischer Prozess, der durch folgende Gleichung beschrieben wird: .

^[38] Eine detaillierte Beschreibung von Itôs Lemma kann bei Hull (2012), S. 370 f. nach-gelesen werden.

^[39] Vgl. Würfel (2007), S. 11.

^[40] Mit dem Begriff Hedging wird die Reduktion von Risiko in einem Portfolio bezeichnet. Delta-Hedging beschreibt die vollständige Risikoabschaltung durch Ausnutzung der Korrelation zweier Finanzinstrumente.

^[41] Vgl. Hull (2012), S. 395.

^[42] Vgl. Hull (2012), S. 398.

^[43] Die Formel der kumulativen Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung lautet: .

^[44] Vgl. Würfel (2007), S. 26.

^[45] Vgl. Black / Scholes (1972).

^[46] Die Abbildung einer Volatilitätsoberfläche kann im Anhang unter 5.1 gefunden werden.

^[47] Vgl. Wallmeier (2003), S. 55.

^[48] Vgl. Goldman Sachs (2006), S. 13.; Hull (2012), S. 523.

^[49] Vgl. Wallmeier (2003), S. 56.; Ripper / Günzel (1997), S. 476.

^[50] Vgl. Wallmeier (2003), S. 62.

^[51] Vgl. Hull (2012), S. 523.

^[52] Vgl. Franke / Härdle / Hafner (2004), S. 227.

^[53] Vgl. Wallmeier (2003), S. 57.; Ripper / Günzel (1997), S. 476.

^[54] Vgl. Wallmeier (2003), S. 58.

^[55] Vgl. Hull (2012), S. 523.

^[56] Vgl. Horn (2012), S. 18 f.

^[57] Vgl. Eck / Riechert (2006), S. 109.

^[58] Beide Ansäte werden bei Ender (2008), S. 27.; Horn (2012), S. 20. genannt.

^[59] Vgl. Stuppi (2011), S. 35.

^[60] Vgl. Locht (2009), S. 88.

^[61] Vgl. Baumeister (2009), S. 8.

^[62] Vgl. Merk (2011), S. 214.

^[63] Weitere Informationen zum Heston-Modell können bei Horn (2012), S. 24 f. gefunden werden.

^[64] Information zu den besonderen Eigenschaften (stylized facts) können bei Cont (2001) nachgelesen werden.

^[65] Vgl. Cont / Fonseca / Durrleman (2002), S. 375.

^[66] Benannt nach dem französischen Mathematiker und Physiker Simeon-Denis Poisson, 1781–1840.

^[67] Vgl. Ender (2008), S. 29.

^[68] Vgl. Plate (1999), S. 90.

^[69] Vgl. Hull (2012), S. 404.

^[70] Vgl. Franke / Härdle / Hafner (2004), S. 95.

^[71] Vgl. Neuhaus (1995), S. 6.

^[72] Für weitere Informationen zu VDAX und VDAX-NEW sowie deren Berechnung siehe Deutsche Börse (2007), S. 4 ff.

^[73] Deutsche Börse AG (2006), S. 4.

^[74] Vgl. Franke / Härdle / Hafner (2004), S. 95.

^[75] Vgl. Horn (2012), S. 18.

^[76] Mehr Informationen zum Bisektionsverfahren und dessen Berechnungsformel können bei Merk (2011), S. 137 f.; Kritzman (2003), S. 107 f. nachgelesen werden.

^[77] Vgl. Dartsch (1998), S. 69.

^[78] Vgl. Rudolph / Schäfer (2010), S. 288.; Bolek (1999), S. 118.

^[79] Die Formel der Newtoniteration entstammt Merk (2011), S. 131.

^[80] Die Formel für Vega lautet: .

^[81] Die Informationen zu den Sensitivitätskennzahlen entstammen Loistl (1996), S. 380 ff.

^[82] Vgl. Dartsch (1998), S. 69.; Merk (2011), S. 134.

^[83] Alle drei Gewichtungsmethoden werden bei Rudolph / Schäfer (2010), S. 289 ff. vorgestellt.

^[84] Vgl. Merk (2011), S. 38.

^[85] Vgl. dazu die Grafik des 12-Monats-Euribor im Anhang unter 5.3.

^[86] Vgl. Merk (2011), S. 76.

^[87] Dieses Vorgehen schlägt beispielsweise auch Thiel (2001), S. 178 vor.

^[88] Der Verlauf des DAX im Zeitraum vom 15.Januar 2013 bis 14.Januar 2014 ist im Anhang unter 5.2 dargestellt.

^[89] Vgl. Merk (2011), S. 223.

^[90] Vgl. Merk (2011), S. 231 f.

^[91] Die Formeln zur Berechnung der Schiefe sowie der Kurtosis können im Anhang unter 5.4 nachgelesen werden

^[92] Vgl. Schröder (2012), S. 4.

^[93] Eine Abbildung einer Normalverteilung, einer leptokurtischen Verteilung sowie einer platykurtischen Verteilung kann im Anhang unter 5.5 gefunden werden.

^[94] Vgl. Black (1976), S. 177.

^[95] Die Informationen zu den Wertgrenzen entstammen Hull (2012), S. 283.; Thiel (2001), S. 190.

^[96] Vgl. Merk (2011), S. 156.

^[97] Vgl. Thiel (2001), S. 71.

^[98] Vgl. Deutsche Börse (2007), S. 5 f.

^[99] Dieses Vorgehen diskutiert auch Thiel (2001), S. 168.

^[100] Vgl. Merk (2011), S. 268.

^[101] Vgl. Merk (2011), S. 132.

^[102] Die Vor- und Nachteile des Newton-Raphson-Verfahrens wurden bereits in Kapitel 3.1 diskutiert.

^[103] Zu einem ähnlichen Ergebnis kommt Bolek (1999), S. 123.

^[104] Beide Zusammenhänge können anhand der Grafiken im Anhang unter Punkt 5.7 sowie Abbildung 6 nachvollzogen werden.

^[105] Vgl. Bolek (1999), S. 129.

^[106] Die Grafik kann im Anhang unter 5.8 gefunden werden.

^[107] Vgl. Dartsch (1998), S. 81.

^[108] Die Moneyness beschreibt die Beziehung zwischen dem aktuellen Kurs des Basiswertes und dem Ausübungspreis, es gilt: . Vgl. Thiel (2001), S. 201.

^[109] Vgl. Merk (2011), S. 136.

^[110] Vgl. Merk (2011), S. 144.

^[111] Vgl. dazu Abbildung 12 im Anhang, die den Verlauf der impliziten Volatilität bei 46 Tagen Restlaufzeit darstellt.

^[112] Vgl. Merk (2011), S. 136.

^[113] Vgl. Merk (2011), S. 134.

^[114] Vgl. Wallmeier (2003), S. 185.

^[115] Vgl. Bolek (1999), S. 123.

^[116] Vgl. Dartsch (1998), S. 71.

^[117] Vgl. Bolek (1999), S. 137.

^[118] Vgl. Bolek (1999), S. 135.

^[119] Vgl. Harvey / Whaley (1991), S. 1553.