Mathematisches Modellieren in der Grundschule: Darstellung von Modellierungskompetenzen an ausgewählten realitätsbezogenen Aufgabenstellungen

Inhaltsverzeichnis

1 Vorwort

2 Mathematisches Modellieren
2.1 Modelle
2.1.1 Funktionen von Modellen
2.2 Modellierungskreislauf
2.2.1 Realmodell und mathematisches Modell
2.2.2 Schwierigkeiten und Fehler beim mathematischen Modellieren

3 Realitätsbezogene Aufgabenstellungen zum Modellieren
3.1 Sachaufgabentypen zur Abgrenzung von Modellierungsaufgaben
3.2 Merkmale von Modellierungsaufgaben
3.2.1 Offenheit von Modellierungsaufgaben
3.3 Arten von Modellierungsaufgaben
3.3.1 Über- und unterbestimmte Aufgaben
3.3.2 Aufgaben zu Teilprozessen des mathematischen Modellierens

4 Untersuchung der Modellierungskompetenzen Der Schüler
4.1 Anthropogene, soziokulturelle und soziale Voraussetzungen der Schüler
4.2 Voruntersuchung
4.3 Planung der Durchführung
4.3.1 Aufgabenzusammenstellung, -konzeption und -darstellung
4.3.2 Darstellung der Einzelnen Aufgaben
4.3.2.1 Eine überbestimmte Aufgabe: Eisbärenfütterung
4.3.2.2 Aufgaben zum Validieren
4.3.2.2.1 Puzzle
4.3.2.2.2 Grundschulzeit
4.3.2.3 Eine Aufgabe zur Modellbildung: Schulweg
4.3.2.4 Eine unterbestimmte Aufgabe: Der Fußball-Globus
4.3.2.5 Eine Aufgabe zum Interpretieren: Eintrittspreise des Berliner Zoos
4.3.3 Durchführung der Einzelnen Aufgaben
4.4 Übersicht durchgeführter realitätsbezogener Aufgabenstellungen

5 Darstellung und Analyse mathematischer Modellierungsprozesse anhand ausgewählter realitätsbezogener Aufgabenstellungen
5.1 Indikatoren zur Analyse von Modellierungsprozessen
5.2 Die überbestimmte Aufgabe: Eisbärenfütterung
5.2.1 Darstellung der Aufgabe
5.2.2 Lösung der Aufgabe
5.2.3 Analyse der weitgehend in leistungshomogener Gruppenarbeit durchgeführten mathematischen Modellierungen
5.2.4 Darstellung und Analyse einer ausgewählten mathematischen Modellierung
5.2.5 Weitere Bemerkungen zu den Modellierungsprozessen
5.3 Die Aufgabe zum Validieren eines vorgegebenen Modells: Grundschulzeit
5.3.1 Darstellung der Aufgabe
5.3.2 Lösung der Aufgabe
5.3.3 Analyse des in Einzelarbeit durchgeführten Modellierungsteilprozesses Validieren
5.3.4 Darstellung ausgewählter Validierungen
5.4 Die Aufgabe zum Modellbilden mit Weiterführung des Modellierungsprozesses: Schulweg
5.4.1 Darstellung der Aufgabe
5.4.2 Lösung der Aufgabe zum Modellbilden
5.4.3 Weiterführender Modellierungsprozess
5.4.4 Analyse der in Einzelarbeit durchgeführten Modellbildungen
5.4.5 Analyse der in Partnerarbeit zu Ende geführten Modellierung
5.4.6 Darstellung einer ausgewählten Modellbildung und einer zu Ende geführten Modellierung

6 Abschließende Reflexion

7 Literaturverzeichnis

1 Vorwort

„Man benötigt Mathematik um als mündiger Bürger die Welt zu verstehen. […] Mathematisches Modellieren […] kann […] helfen, realistische Probleme zu lösen und die Welt besser zu verstehen.“ ^[1]

Mathematisches Modellieren findet überall dort statt, wo natürliche Phänomene mit Hilfe der Mathematik erklärt werden, wo Vorhersagen für Naturereignisse, Bevölkerungswachstum oder Wahlprognosen getroffen werden etc. Die Wichtigkeit des mathematischen Modellierens liegt auf der Hand und das nicht nur für Wissenschaftler und Gelehrte. Mathematisches Modellieren findet alltäglich statt: beim Kalkulieren monatlicher Ausgaben, bei der Planung eines Festes oder beim Berechnen der Fahrzeit zum Urlaubsziel etc.

Seit den Beschlüssen der Kultusministerkonferenz (2003) über Bildungs­standards für den mittleren Schulabschluss gewinnt das mathematische Modellieren auch im Mathematikunterricht an Bedeutung. Neben dem mathematischen Argumentieren, dem mathematischen Lösen von Problemen, dem Verwenden mathematischer Darstellungen, dem symbolischen, formalen und technischen Umgehen mit Mathematik sowie dem mathematischen Kommunizieren stellt das mathematische Modellieren eine der insgesamt sechs zentralen Kompetenzen dar, die von der KMK 2003 als Kern der Standards für den Mathematikunterricht festgelegt wurden.^[2]

Das mathematische Modellieren bietet die Chance, das Fach Mathematik durch die Behandlung realitätsbezogener Aufgabenstellungen für Schüler attraktiver zu gestalten, weil sie einen persönlichen Nutzen beim Lösen lebensnaher Aufgaben mit Hilfe mathematischer Verfahren erleben können.

Angesichts der Tatsache, dass Schüler^[3] bei der Modellierung auf bekannte mathematische Verfahren zurückgreifen und Grundvorstellungen zu Größen besitzen müssen^[4], befürchte ich jedoch, entgegen der Äußerungen einiger Autoren wie Peter-Koop^[5], dass leistungsschwache Schüler größere Schwierigkeiten haben werden als die leistungsstärkeren.

Die Untersuchung wird deshalb schwerpunktmäßig auf die Klärung der folgenden Fragen angelegt sein:

1. Lassen sich einschlägige Unterschiede bezüglich der Modellierungs­kompetenzen zwischen Schülern verschiedener Leistungsniveaus feststellen?
2. Gibt es Teilprozesse innerhalb des mathematischen Modellierens, die von weitgehend allen Schülern nur schwer oder gar nicht zu bewältigen sind?

2 Mathematisches Modellieren

Der Begriff des mathematischen Modellierens wird auf zweierlei Weisen verwendet. Es gibt eine allgemeine Auffassung, in der das mathematische Modellieren den Prozess des Lösens einer realitätsbezogenen Problem­stellung durch den Einsatz mathematischer Methoden darstellt.^[6] Hier wird gewissermaßen der gesamte Modellierungskreislauf dem mathematischen Modellieren gleichgesetzt. Demgegenüber gibt es eine engere Auffassung, in der das mathematische Modellieren nur bestimmte Teilprozesse im Modellierungskreislauf beinhaltet (vgl. 2.2).

In beiden Fällen ist das mathematische Modellieren von dem inner­mathe­matischen Modellieren abzugrenzen, bei dem die Problem­stellung nicht realitätsbezogen, sondern innermathematisch ist.^[7] Wird der Begriff Modellieren verwendet, so ist das mathematische Modellieren gemeint, je nach Zusammenhang entweder gemäß der engeren oder der allgemeinen Auffassung.

Bei jeder Form von Modellierung – innermathematisch oder mathematisch – spielt das Bilden von Modellen eine Schlüsselrolle.

2.1 Modelle

Der Begriff Modell entstammt dem lateinischen Wort modulus, das übersetzt Maß, Form oder Muster bedeutet.^[8] In der Wissenschaft und Technik sind Modelle „Darstellungen, die nur die als wichtig angesehenen Eigenschaften des Vorbildes ausdrücken“^[9]. Modelle reduzieren die Realität durch Weglassen von unrelevanten Teilaspekten und sind damit Abstraktionen, die helfen sollen, das zu Modellierende zu verstehen.^[10]

2.1.1 Funktionen von Modellen

Modelle können unterschiedlichen Zwecken dienen. Sie können einerseits reale Phänomene, beispielsweise die Planetenbewegung oder die Muskel­kontraktion beschreiben, andererseits zur Umsetzung gewisser Intentionen bezüglich realer Sachverhalte wie zur Planung von Brückenbauten oder von Rentenauszahlungen eingesetzt werden.^[11] Dementsprechend werden deskriptive Modelle von normativen Modellen unterschieden. Deskriptive Modelle sind vereinfachte und idealisierte Nachahmungen der Realität, wie es in einem Modell von unserem Sonnensystem oder von einer Muskel­faser der Fall ist. Was berücksichtigt und was unterdrückt wird, entscheidet der Konstrukteur des jeweiligen Modells, so dass deskriptive Modelle nicht nur selektiv, sondern insbesondere auch subjektiv sind.^[12]

Normative Modelle, beispielsweise Baupläne oder Modelle zur Privat­rentenauszahlung, sind hingegen gewissermaßen Muster zur Realisierung eines Vorhabens.^[13]

Nicht jedes Modell lässt sich dabei eindeutig als deskriptiv oder normativ deklarieren. Vielfach treten Mischformen auf, wie Greefrath anschaulich am Beispiel eines Modells zum freien Fall einer Stahlkugel verdeutlicht.^[14]

Dienen deskriptive Modelle nicht nur zur Beschreibung der Realität, sondern zusätzlich zur Erklärung der realen Situation – beispielsweise lässt sich anhand eines Modells einer Muskelfaser die Muskelkontraktion erklären – nennt Greefrath sie explikative Modelle. Als prognostische Modelle bezeichnet er deskriptive Modelle, die außerdem Vorhersagen ermöglichen – beispielsweise ein meteorologisches Modell, aus dem Vorhersagen zum Wetter der nächsten Tage gezogen werden können.^[15]

2.2 Modellierungskreislauf

In der Literatur findet man verschiedene Darstellungen des Modellierungs­prozesses. Sie unterscheiden sich in der Detailliertheit, das heißt in der Anzahl der formulierten Teilprozesse und zum Teil geringfügig in den Begrifflichkeiten.^[16]

Den differenziertesten Modellierungskreislauf liefert Blum. Seine genaue Darlegung eines idealisierten Modellierungskreislaufs schafft eine optimale Voraussetzung, die Modellierungsprozesse von Schülern zu initiieren und zu analysieren.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb.1 Modellierungskreislauf nach Blum

(vgl.http://schulamt-gross-gerau.bildung.hessen.de/fachberatung/ISTRONTAGUNG_2006/ Hauptvortrag1.pdf, S.3, im Folgenden: Blum, ISTRON-Tagung 2006)

In allen Darstellungen von mathematischen Modellierungsprozessen wird gleichsam zwischen Realität (Rest der Welt) und Mathematik unter­schieden. Verbindungsprozesse zwischen beiden „Welten“ stellen dabei das Mathematisieren (von der Realität in die Mathematik) und das Inter­pretieren (von der Mathematik in die Realität) dar.^[17]

Ausgangspunkt in Blums Darstellung des Modellierungsprozesses ist eine komplexe Realsituation, in die eine realitätsbezogene Problemstellung eingebettet ist. Aus dieser komplexen Realsituation wird nun zunehmend das realitätsbezogene Problem von unrelevanten Daten entkleidet, strukturiert und schließlich mathematisiert, um es dann mit mathematischen Mitteln zu lösen.

Beim Verstehen der Realsituation wird dabei ein vereinfachtes Abbild konstruiert, das Blum Situationsmodell nennt. Das Verstehen setzt neben allgemeinem, unspezifischem Alltagswissen zur dargelegten Realsituation vor allem sprachliche Kompetenzen voraus^[18], weshalb dieser Teilprozess im Modellierungskreislauf nach Blum und Leiß auch keine Modellierungs­kompetenz, sondern eine kommunikative Kompetenz darstellt. Beim Durch­laufen des Modellierungskreislaufs greifen folglich mehr als nur Model­lierungskompetenzen.^[19] Die Vernetzung der insgesamt sechs zentralen mathematischen Kompetenzen, die sowohl das mathematische Modellieren als auch das mathematische Kommunizieren beinhalten^[20], wird hier im Besonderen deutlich.

Durch die Vereinfachung und Strukturierung des Situationsmodells entsteht ein Realmodell (vgl. 2.2.1). Dazu werden einerseits weiterhin relevante Daten aus dem Situationsmodell extrahiert, andererseits fehlende Daten, die zum Lösen der Problemstellung notwendig sind, durch Messen, Schätzen und Recherchieren erhoben. Alle wichtigen Daten werden anschließend zusammenhängend im Realmodell dargestellt.

Das Realmodell verkörpert zwar eine Abstraktion der realen Situation, trägt aber keinen mathematischen Charakter. Durch Mathematisieren des Real­modells, das heißt dem Übersetzen der Daten des Realmodells in die Sprache der Mathematik, entsteht das mathematische Modell (vgl. 2.2.1). Dazu wird das mathematisch Relevante von dem Unrelevanten getrennt und es werden gezielt Begriffe und Regeln auf einzelne Zahlen und Größen angewandt.^[21]

Während Vereinfachen, Strukturieren und Mathematisieren laut Blum und Leiß Modellierungskompetenzen darstellen, gilt die Arbeit innerhalb der Mathematik – das Lösen der nunmehr mathematischen Problemstellung durch mathematische Mittel – nicht als Modellierungskompetenz.^[22] Die mathematischen Resultate werden anschließend durch Interpretieren zurück in die Alltagssprache übersetzt. Die Bearbeitung des mathemati­schen Modells führt zunächst zur Lösung des mathematischen Problems. Möglicherweise ist das reale Problem weiterhin ungelöst, weshalb die realen Resultate – die interpretierten mathematischen Resultate – am Situationsmodell validiert werden müssen. In dieser Auswertung wird über die situative Bedeutung des Ergebnisses, über deren Genauigkeit und Plausibilität nachgedacht. Es wird entschieden, ob das Modellieren erfolg­reich war, also die Modellierungsergebnisse sinnvoll mit der realitäts­bezogenen Problemstellung verbunden werden können. Falls sich die Modellierung jedoch als nicht tragfähig erweist, muss das Modell ver­bessert werden. Ein erneutes Durchlaufen des Modellierungsprozesses beziehungsweise von Teilprozessen ist dann solange vonnöten bis ein plausibles, reales Resultat ermittelt wird.

Die engere Auffassung des mathematischen Modellierens von Blum und Leiß umfasst somit nur die vier Teilprozesse: (2) das Vereinfachen und Strukturieren des Situationsmodells, (3) das Mathematisieren des Real­modells, (5) das Interpretieren der mathematischen Resultate und (6) das Validieren der realen Resultate.^[23]

Vor allem Blum und Leiß sowie Greefrath und Maaß verweisen aus­drücklich auf die Idealisierung des Modellierungsprozesses.^[24] Es ist eben nur ein „Modell des Modellbildens“^[25], wie Greefrath betont. Echte Modell­bildungsprozesse laufen in der Regel weder so geordnet und linear ab noch lassen sich alle Zwischenschritte wiedererkennen.^[26]

Modellbildungsprozesse können sowohl bewusst als auch unbewusst statt­finden. Greefrath unterscheidet daher zwischen einer engen (bewussten) und einer allgemeinen (unbewussten) Auffassung zum Modellbildungs­prozess. Die enge Auffassung verlangt dabei eine explizite Thematisierung der Teilprozesse des Modellierens. Da dies eine höhere kognitive Anfor­derung an die Schüler darstellt, ist in der Grundschule die allgemeine Auf­fassung vorherrschend.

2.2.1 Realmodell und mathematisches Modell

Realmodell und mathematisches Modell sind Vereinfachungen einer komplexen Realsituation und können gleichwertige Informationen beinhalten. Sie unterscheiden sich in der „Sprache“, in der sie verfasst sind: das Realmodell in der Sprache des Alltags, das mathematische Modell in der Sprache der Mathematik. Mathematische Modelle können viele Gestalten annehmen: Zahlen, Rechenausdrücke, geometrische Figuren, Funktionen, Graphen etc.^[27] In der Grundschule betreffen mathematische Modelle in erster Linie Gleichungen mit natürlichen Zahlen und bekannte gängige Größen wie Längen, Zeitspannen, Geldwerte etc.^[28]

Obwohl theoretisch eine scharfe Grenze zwischen Realmodell und mathematischem Modell gezogen werden kann, sind in der Praxis die Übergänge fließend. Nicht immer findet die Bildung beider Modelle statt; besonders bei relativ leichten Aufgaben führen Vereinfachungen oftmals sofort zum mathematischen Modell^[29] (vgl. 3.3.2).

2.2.2 Schwierigkeiten und Fehler beim mathematischen Modellieren

Zwar stellen alle Schritte des Modellierungskreislaufes potenzielle Hürden dar, jedoch wird das Finden eines geeigneten mathematischen Modells als die größte Schwierigkeit erachtet, weil hierbei im Besonderen die mathe­matische Kreativität gefordert ist.^[30] Dabei ist die kreative Leistung stark abhängig von dem Beherrschen mathematischer Grundverfahren.^[31]

Fehler können dennoch bei allen Teilschritten des Modellierungsprozesses auftreten. Maaß konkretisiert einzelne Fehlerarten durch jeweilige Symptome:

- Realmodelle können durch falsche oder zu grobe Vereinfachungen fehlerhaft sein.
- Beim Aufstellen des mathematischen Modells können falsche Algo­rithmen oder inadäquate mathematische Schreibweisen verwendet werden.
- Das Bearbeiten des mathematischen Modells wird fehlerhaft, falls Rechenfehler entstehen oder die Bearbeitung vorzeitig ab­gebrochen wird.
- Eine Interpretation der mathematischen Resultate kann entweder falsch sein oder gänzlich fehlen.
- Der Teilprozess des Validierens kann misslingen, weil eine kritische Reflexion fehlt, sie zu oberflächlich ist oder Unzulänglichkeiten eines Modells zwar erkannt, aber nicht verbessert werden.
- Fehler, die den gesamten Modellierungsprozess betreffen, ent­stehen nicht nur, wenn die ganze Modellierung missglückt, sondern auch, falls die Darstellung so knapp gehalten ist, dass wesentliche Argumentationen fehlen.^[32]

3 Realitätsbezogene Aufgabenstellungen zum Modellieren

Blum definiert Modellierungsaufgaben als realitätsbezogene Aufgaben mit substanziellen Modellierungsanforderungen.^[33] Weil diese aber nichts anderes als eine bestimmte Gattung von Sachaufgaben sind, bezeichnet der Begriff Modellierungsaufgabe eigentlich nichts Neues, es handelt sich um spezielle Sachaufgaben.^[34]

[...]

^[1] Maaß, Katja: Mathematisches Modellieren, Aufgaben für die Sekundarstufe 1. Berlin 2007, S.7 (im Folgenden: Maaß, 2007)

^[2] vgl. http:// www.kmk.org/schul/Bildungsstandards/Mathematik_MSA_BS_04-12-2003.pdf, S.6-8; Blum, Werner / Drüke-Noe, Christina / Hartung, Ralph / Köller, Olaf (Hrsg.):Bildungsstandards Mathematik: konkret, Sekundarstufe 1: Aufgabenbeispiele, Unterrichtsanregungen, Fortbildungsideen. Berlin 2006, S.19-20 (im Folgenden: Blum / Drüke-Noe / Hartung / Köller, 2006)

^[3] Wenn im Text von Schülern, Grundschülern etc. die Rede ist, so sind stets auch Schülerinnen, Grundschülerinnen etc. mit eingeschlossen.

^[4] vgl. Dobner, Hans-Jochen: Didaktik des mathematischen Modellierens. In: Sache-Wort-Zahl, März 2004, S.50 (im Folgenden: Dobner, 2004)

^[5] vgl. Peter-Koop, Andrea: Mathematische Modellbildungsprozesse von Grundschulkindern im Kontext offener Sachaufgaben. Handout zum Vortrag von Dr. Peter-Koop an der Humboldt Berlin am 21.05.2007, S.13 (im Folgenden: Peter-Koop, 2007)

^[6] vgl. Blum / Drüke-Noe / Hartung / Köller, 2006, S.40

^[7] vgl. Blum / Drüke-Noe / Hartung / Köller, 2006, S.41

^[8] vgl. Drosdowski, Günther / Köster, Rudolf / Müller, Wolfgang / Scholze–Stubenrecht, Werner (Hrsg.): Duden Etymologie – Herkunftswörterbuch der deutschen Sprache. Mannheim 1963, S.446

^[9] dtv – Lexikon Band 12 (Med-Nen). München 1992, S.152

^[10] vgl. http://www.ib.hu-berlin.de/~wumsta/infopub/semiothes/lexicon/default/db8.html; Maaß, 2007, S.13; Greefrath, Gilbert: Modellieren lernen mit offenen realitätsnahen Aufgaben. Köln 2007, S.18-19 (im Folgenden: Greefrath, 2007)

^[11] vgl. Blum, Werner / Leiß, Dominik: Beschreibung zentraler mathematischer Kompetenzen. In: Blum / Drüke-Noe / Hartung / Köller, 2006, S.4 (im Folgenden: Blum / Leiß, 2006)

^[12] vgl. Winter, Heinrich: Modelle als Konstrukte zwischen lebensweltlichen Situationen und arithmetischen Begriffen. In: Grundschule, Jg.1994, Heft 3, S.11

^[13] vgl. Medwedew, Olesja: Förderung der Modellierungskompetenzen im Mathematikunter­richt - dargestellt am Beispiel der Unterrichtseinheit „Fermiaufgaben in Beziehung zu Größen­bereichen“ – in einer 3.Klasse. Verden 1.08.2006, S.8 (im Folgenden: Medewedew, 2006)

^[14] vgl. Greefrath, 2007, S.20-22

^[15] vgl. Greefrath, 2007, S.20-21

^[16] vgl. http://deposit.ddb.de/cgi-bin/ dokserv?idn=977903117&dok_var=d1&dok_ext=pdf& filename=977903117.pdf, S.11; Büchter / Leuders: Mathematikaufgaben selbst entwickeln, lernen fördern – Leistung überprüfen, Berlin 2005, S.19-21 (im Folgenden: Büchter / Leuders, 2005); Maaß, 2007, S.13

^[17] vgl. Büchter / Leuders, 2005, S.21; Greefrath, 2007, S.15-16; Maaß, 2007, S.13

^[18] vgl. Winter, Heinrich: Sachrechnen in der Grundschule. Bielefeld 1985, S.7 und S.32 (im Folgenden: Winter, 1985)

^[19] vgl. Blum / Leiß, 2006, S.41

^[20] vgl. Blum, Werner: Einführung. in: Blum / Drüke-Noe / Hartung / Köller, 2006, S.20 (im Folgenden: Blum, 2006)

^[21] vgl. Medwedew, 2006, S.9

^[22] vgl. Blum / Leiß, 2006, S.41

^[23] vgl. Blum / Leiß, 2006, S.41

^[24] vgl. Blum / Leiß, 2006, S.41; Greefrath, 2007, S.15-16; Maaß, 2007, S.13

^[25] Greefrath, 2007, S.15

^[26] vgl. Greefrath, 2007, S.16

^[27] vgl. Büchter / Leuders, 2005, S.20

^[28] vgl. Peter-Koop, Andrea: „Wie viele Autos stehen in einem 3-km-Stau?“ – Modellbildungsprozesse beim Bearbeiten von Fermi-Problemen in Kleingruppen. In: Ruwisch, Silke / Peter-Koop, Andrea: Gute Aufgaben im Mathematikunterricht der Grundschule, Offenburg 2003, S.112 (im Folgenden: Peter-Koop, 2003)

^[29] vgl. Maaß, 2007, S.14

^[30] vgl. Peter-Koop, 2003, S.113; Winter, 1994, S.11

^[31] vgl. Medwedew, 2006, S.10

^[32] vgl. Maaß, 2007, S.33-37

^[33] vgl. Blum, ISTRON-Tagung 2006, S.8

^[34] vgl. Büchter / Leuders, 2005, S.27