Brüche ohne Schmerzen: Schüler entwickeln Bruchvorstellungen mit individuellen Portfolios

2.3.1 Einbettung des Portfolios in den Unterricht

„Portfolios können parallel neben dem Unterricht angelegt werden oder in ihn integriert sein. Im ersten Fall stehen sie immer etwas in der Gefahr, schlecht angeleitet und nicht richtig wahrgenommen zu sein.“^[1] Aus diesem Grund möchte ich darlegen, welche Möglichkeiten der Integration der Arbeit am Portfolio in den Unterricht es gibt.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten^[2]

Da die Methode „Portfolio“ sowohl für mich als auch für meine Schüler neu ist, beziehe ich mich in der Umsetzung auf das Einheits-Modell. Es vereint Zentripetal- und Zentrifugal-Modell und macht es möglich, auf der einen Seite exemplarische Unterrichts-Inputs wie Arbeitsblätter, Vorlagen für Aufgabentypen u.Ä. zu geben, die die Schülerinnen methodisch gleich oder ähnlich in ihren Portfolios behandeln. Auf der anderen Seite kann ich als Lehrkraft bereits erstellte Elemente der Portfolios aufgreifen und in den Unterricht einfließen lassen, wie zum Beispiel besonders gelungene Beiträge oder Missverständnisse (letztere natürlich ohne Namensnennung). Gerade weil meine Schülerinnen und Schüler wie auch ich als Lehrkraft noch keine Erfahrungen mit Portfolios im Unterricht haben, wird die Unterrichtseinheit beidseitig geprägt sein von „learning-by-doing“ mit Korrekturen und Neuausrichtungen der laufenden Arbeit.

Damit entsteht eine Wechselwirkung aus Unterricht und Portfolio-Erstellung, wie ich sie mir wünsche und sinnvoll finde, damit einerseits die Schülerinnen und Schüler Anregungen aus neuen Inputs finden, aber auch Anregungen aus den bereits erstellten Portfolio-Einträgen ihrer Mitschülerinnen und Mitschüler übernehmen können.

In der Literatur finden sich vereinzelt Beispiele zur Unterrichtsgestaltung mit Portfolios. Dabei überwiegen allerdings eindeutig die Sprachenfächer. In der Mathematikdidaktik ist dagegen die Portfolioarbeit noch neu und wenig verbreitet. Buchpublikationen zur expliziten Verbindung von Mathematikunterricht und Portfolioarbeit konnte ich im deutschsprachigen Raum nicht finden, ebenso keine Beiträge in Anthologien und nur wenige Artikel in Fachzeitschriften.

2.3.2 Voraussetzungen für die Portfolioarbeit

Zur Voraussetzung für die Arbeit mit Portfolios im Unterricht gehören Kompetenzen auf Seiten der Schülerinnen und Schüler sowie auf Seiten der Lehrkraft.

Die Schülerinnen und Schüler müssen über grundlegende Fähigkeiten wie Lesen und Schreiben sicher verfügen, um sich selbständig mit den Inhalten auseinandersetzen zu können. Sie sollen willens und in der Lage sein, sich individuell mit dem Lehrstoff zu beschäftigen.

Natürlich variiert das Arbeitsniveau und der Grad der Eigenverantwortlichkeit innerhalb der Lerngruppe. Daher werde ich immer wieder selbstdifferenzierende Aufgaben und andere Formen der Differenzierung wie Lernbuffet und Stationenlernen einsetzen. Verantwortung für den Lernprozess wird damit immer wieder Stück für Stück an die Schülerinnen und Schüler übergeben; die Einschätzung der eigenen Arbeit kann durch das jederzeit vorliegende Kriterienraster erfolgen.

Die Kompetenzen der Lehrkräfte sind bei der Portfolio-Arbeit besonders gefordert. Sie müssen den Überblick behalten, welche Schüler mit den Anforderungen zurecht kommen, unter- oder überfordert sind. Die Lehrkräfte sind dafür verantwortlich, den gesamten Prozess der Erstellung von Portfolios zu planen, zu steuern und zum Abschluss zu führen. Die Hauptaufgabe der Lehrkraft sieht Endres „in der planerischen Vorarbeit und Gestaltung der Portfolioeinheit wie die thematische Einbindung ins Kerncurriculum (...).“^[3]

Aus diesen Anforderungen schließe ich, dass die Rolle der Lehrkraft während der Durchführung die des Beobachters und Beraters der Schülerinnen und Schüler ist.

Schmidinger listet weitere Kompetenzen auf und zeigt damit die Dimensionen auf, die die Arbeit mit dem Portfolio hat: „Die Integration der Portfolioarbeit in den eigenen Unterricht, wie oben gezeigt, erfordert von den LehrerInnen Kompetenzen, die noch nicht selbstverständlich sind:

- die Organisation von möglichst selbst bestimmten individuellen Lernprozessen
- die vorgängige Vereinbarung von Zielen, auf die sich alle im Lernprozess beziehen
- die Entwicklung vielfältiger, komplexer und alltagsnaher Aufgaben, die sich auf verschiedenen Niveaus bearbeiten lassen
- die Gestaltung von Portfoliogesprächen und das Schreiben von Kommentaren und vieles mehr“^[4]

Schmidinger bemerkt einschränkend zu dieser Menge an Anforderungen: „Die Planung und Gestaltung der Portfolioarbeit im eigenen Unterricht stellt die LehrerInnen noch vor besondere Herausforderungen. Dies zeigte sich in allen vorliegenden Evaluationsstudien.“^[5]

Wie ich versuche, diese Anforderungen zu bewältigen, lege ich im Kapitel 4 „Planung und Durchführung der Unterrichtseinheit ‚Darstellen von Brüchen’“ dar.

2.3.3 Phasen der Portfolioarbeit

In der Literatur^[6] findet man verschiedene Modelle und Bezeichnungen für die Abläufe während der Arbeit am Portfolio. Gemeinsam ist den Modellen, dass sich die Phasen gegenseitig durchdringen. Um die Durchdringung der Phasen darzustellen, wähle ich die Form der sich überschneidenden Kreise. Unter der von mir gewählten Bezeichnung der Phase nenne ich die Haupttätigkeit der Schülerinnen und Schüler in dieser Phase.

Insbesondere die drei mittleren Phasen der Erarbeitung, Sichtung und Reflexion verschränken sich zeitlich, wenn an verschiedenen Beiträgen zum Portfolio gearbeitet wird.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Einführungsphase: Mitgestalten

Den Schülerinnen und Schülern wird anhand eines Beispiels gezeigt, wie ein Portfolio aussehen kann. Die zu behandelnden Inhalte (in der Regel aus dem Rahmenlehrplan) werden den Schülerinnen und Schülern vorgestellt, denn dies versetzt sie in die Lage, sich in der Diskussion über die Arbeitsweise im Portfolio einzubringen.

Praktische Fragen zur Aufbewahrung, Gestaltung, Umgang mit dem Portfolio sollten anschließend gemeinsam geklärt werden. Die Kriterien zur Bewertung des Portfolios werden gleich zu Beginn transparent gemacht, damit die Schülerinnen und Schüler wissen, was auf sie zukommt. Anregungen der Schülerinnen und Schüler werden aufgegriffen, Fragen werden geklärt.

Erarbeitungsphase: Sammeln

Der neue Stoff wird in der Klasse erarbeitet, sei es durch Freiarbeit, Frontalunterricht, Referate oder Partner- und Gruppenarbeit. Währenddessen erstellen die Kinder wie immer Hefteinträge, füllen Arbeitsblätter aus, leisten Wortbeiträge, beantworten Fragen, schneiden, basteln, legen aus Material, kurzum: sie produzieren. Diese Produkte werden zunächst gesammelt.

Da in der Regel Wortbeiträge oder aus Material Gelegtes nicht gesammelt werden können, kommen als weitere Beiträge Hefteinträge zu eigenen Wortbeiträgen und Fotos zur Dokumentation hinzu.

Sichtungsphase: Auswählen

Die Schülerinnen und Schüler haben das Kriterienraster vorliegen. Ihre eigene Entscheidung ist es, welche ihrer Produkte es wert sind, in das Portfolio aufgenommen zu werden. Sie sollen die geforderte Bandbreite abdecken und qualitativ möglichst hochwertig sein. In diesem Prozess des Auswählens laufen innerlich schon die Kommentierungsprozesse ab, die in der nächsten Phase ausformuliert werden.

Reflexionsphase: Beraten, Reflektieren

Die ausgewählten Beiträge für das Portfolio werden in dieser Phase durch die Urheber kommentiert. Dies geschieht z.B. auf der Grundlage von Beratungsgesprächen mit Mitschülern oder der Lehrkraft, durch Ausfüllen von Reflexionsbögen oder durch frei formulierte Sätze, ähnlich wie in einem Lerntagebuch. Der Lernzuwachs sollte jeweils durch die Schülerinnen und Schüler reflektiert werden. „Sie setzen sich noch einmal mit ihrer Leistung und deren Erarbeitung auseinander, tauschen sich mit anderen aus und erfahren dabei eine Rückmeldung zum Lernprozess und –ergebnis.“^[7]

Folgende Reflexionsarten habe ich für mein Vorhaben verwendet (vgl. Abschnitt 5.5 „Reflexion des Lernprozesses“:)

- Ankreuzen von Smileys in verschiedenen Abstufungen
- Ankreuzen von verschiedenen Antwortmöglichkeiten
- Ergänzen von vorgegebenen Satzanfängen wie z.B. „Was ich dazu sagen kann:...“
- Beantworten von Fragen wie z.B. „Was hast du heute Neues gelernt?“
- Freie Texte

Präsentationsphase: Bewerten (lassen)

Zur Präsentation der abgeschlossenen Portfolios ist wichtig, dass der Wert der Portfolios erkennbar wird. Als Form der Präsentation ist vom Museumsgang innerhalb der Klasse über die Vorstellung auf einem Elternabend bis zur Veröffentlichung in Buchform oder als Internetauftritt vieles möglich.

„Die Veröffentlichung ist als ein gewichtiger Teil des Portfolios anzusehen (...).“^[8] Mit der Veröffentlichung und der Bewertung wird die Arbeit am Portfolio gewürdigt und zu einem Abschluss gebracht. Die Möglichkeiten der Bewertung werden im folgenden Kapitel diskutiert.

2.4 Bewertung von Portfolios

Schon während der Arbeit am Portfolio findet eine Bewertung statt, und zwar durch die Urheber selbst, die bestimmte Arbeiten auswählen, andere auslassen und sich in Beratungen über Kriterien für ihren Auswahlprozess verständigen.

Bei der Bewertung von Portfolios sollte meiner Meinung nach die Transparenz im Vordergrund stehen. Schließlich wird von den Schülerinnen und Schülern verlangt, dass sie intensiv arbeiten. Damit sie die Chance haben, dabei zielorientiert vorzugehen, müssen die Ziele von Anfang an definiert und transparent gemacht werden.

Den Schülerinnen und Schülern werden in der Arbeit am Portfolio verschiedene Möglichkeiten gegeben, sich einzubringen und ihr Können zu zeigen. Besonders Schüler, die sich mündlich wenig beteiligen, können über die gesamte Unterrichtseinheit ihre Leistung dokumentieren und diese zur Bewertung vorlegen.

Bewertung von Portfolios mit Ziffernnoten

Die abschließende Bewertung eines Portfolios mit einer Ziffernnote ist umstritten. Vierlinger nennt das Portfolio „direkte Leistungsvorlage“ (DLV), übt deutliche Kritik an den Ziffernnoten und meint dazu: „Die DLV (...) legt (...) keinen Stellvertreter der Leistung vor (Codewörter und -zahlen), sondern diese selbst (exemplarisch ausgewählte Belegstücke des erreichten Leistungsniveaus).“^[9]

Dagegen meint Bohl zur Bewertung des Portfolios: „Grundsätzlich können Noten, auch verbale Beurteilungen, skalierte Raster oder Mischformen verwendet werden.“^[10]

Mein Standpunkt dazu ist, dass ich die Kritik an Ziffernnoten teile, da sie nichts über den wahren Stand und den Inhalt des Gelernten aussagen – zum Beispiel sagt ein „befriedigend“ in einer Klassenarbeit nichts aus über noch zu schließende Lücken oder was genau schon verstanden wurde.

In Verbindung mit einem Portfolio aber kann ich die Erteilung von Ziffernnoten rechtfertigen, da ein Kriterienraster die Erwartungen von Anfang an transparent macht und anhand eines Punkteschemas nachvollzogen werden kann, in welcher Ausprägung die Kriterien erfüllt sind. Die Zuordnung der erreichten Punkte zu Ziffernnoten (natürlich in Abhängigkeit von der erreichbaren Gesamtpunktzahl) ist in meiner Schule allgemein verpflichtend auf einer Konferenz festgelegt worden.

Die Erstellung des Portfolios erfolgt individuell und in die Bewertung werden die Reflexionen der Schülerinnen und Schüler einbezogen. Daher werde ich die Ziffernnoten durch eine verbale Beurteilung ergänzen, in der Stärken und Schwächen des jeweiligen Portfolios benannt werden.

Die Note für das Portfolio wird von mir wie eine Klassenarbeitsnote behandelt. Laut Beschluss der Fachkonferenz gehen die Noten der Klassenarbeiten zu 40 % in die Zeugnisnote ein. Da in diesem Halbjahr in meiner Lerngruppe noch zwei reguläre Klassenarbeiten geschrieben wurden, hat das Portfolio ein Gewicht von 13,3 % der Zeugnisnote. Dies wird im Rahmen der Festlegung der Bewertungskriterien natürlich von Anfang an den Schülerinnen und Schülern gegenüber transparent gemacht.

Kriterien für die Bewertung von Portfolios

Die Erstellung eines Kriterienrasters ist bedeutsam, da es die Ziele vorgibt, die mit dem Portfolio erreicht werden sollen. Die besondere Schwierigkeit sieht Gubler-Beck in folgendem Punkt: „Die Reflexionen der Schüler sowie die Rückmeldungen des Lehrers orientieren sich an einem Kriterienraster, der lernzielbezogene Standards enthält. Solche Kriterienraster sollen die Schüler bei der zielgerichteten Sammlung ihrer Arbeiten unterstützen und sichern, dass niveauvolle Portfolios entstehen.

Problematisch daran ist aus mathematikdidaktischer Sicht, dass es sehr viel einfacher ist, inhaltliche Lernziele in einem solchen Raster zu berücksichtigen als allgemeine (vgl. Winter 1975). Das kann zu einem kleinschrittigen Abarbeiten inhaltlicher Lernziele bei gleichzeitiger Vernachlässigung allgemeiner Lernziele führen.“^[11]

Daher habe ich im Kriterienraster für die Portfolios als allgemeine Kompetenzen folgende Punkte benannt, die in die Gesamtbewertung mit eingehen (vgl. Abschnitt 5.3 „Kriterienraster“)

- Sorgfalt bei der Erstellung, 6 Punkte
- Hinweise zum Portfolio von einem/r Mitschüler/in, 1 Punkt
- Reaktion auf meine Hinweise zum Portfolio, 2 Punkte
- Reflexionsbogen zu „Stammbrüche – gemischte Übungen“, 3 Punkte
- Reflexion über das eigene Portfolio, 3 Punkte

Insgesamt machen die prozessbezogenen Kompetenzen in der Bewertung in meinem Kriterienraster also 15 von 50 Gesamtpunkten aus (30 %), die inhaltlichen Kompetenzen 35 von 50 Punkten (70 %). Dies halte ich für ein sinnvolles Verhältnis.

3 Lerntheoretische Grundlagen zur Entwicklung von Bruchvorstellungen

In diesem Kapitel möchte ich darstellen, in welcher Entwicklungsstufe die Schülerinnen und Schüler sich derzeit befinden und daraus Rückschlüsse auf die Planung meiner Unterrichtseinheit ziehen. Da es in der Portfolioarbeit um das Darstellen von Lernwegen geht, werde ich einige grundlegende Erkenntnisse über das Lernen zitieren und daraus Konsequenzen für die Unterrichtsgestaltung und gelingendes Lernen im Mathematikunterricht ableiten.

Die Entwicklung von Bruchvorstellungen steht anschließend im Mittelpunkt meiner Betrachtungen. Zunächst lege ich meinen Standpunkt dar, warum Bruchvorstellungen in der Schule thematisiert werden sollten.

Der Bruchbegriff umfasst mehrere Aspekte. Aus diesem Grund gehe ich auf verschiedene, zentrale Aspekte des Bruchbegriffs ein und begründe daraus, an welchen Aspekten ich besonders arbeiten möchte. Um Brüche darstellen und in ihren Aspekten verstehen zu können, müssen die Schülerinnen und Schüler zunächst einen Begriff von Brüchen haben. Daher stelle ich in diesem Kapitel die Einführung von Begriffen im Mathematikunterricht dar.

3.1 Entwicklungspsychologische Grundlagen

Laut dem Entwicklungspsychologen Jean Piaget verläuft die Entwicklung von Kindern in Stadien. Nach dem Durchlaufen des sensomotorischen und präoperationalen Stadiums befinden sich Schülerinnen und Schüler der 5. Klasse, die in der Regel zehn bis elf Jahre alt sind, überwiegend im konkretoperationalen Stadium. Kennzeichnend für dieses Stadium ist die Fähigkeit, „logische Operationen mit konkreten Dingen durchzuführen. Objekte oder interne Repräsentationen von Objekten können manipuliert werden; dadurch wird Versuch und Irrtum unnötig. Schlussfolgerungen bestehen aus einer Reihe kleiner, reversibler Schritte, von denen jeder als vernünftig oder unvernünftig beurteilt werden kann. Das Kind braucht aber noch konkrete Darstellungen, mit denen es seine Denkabläufe verknüpfen kann.“^[12]

Daher ist mir das Handeln mit konkreten Darstellungen von Brüchen in der Unterrichtseinheit besonders wichtig. Die Schülerinnen und Schüler sollen Material erhalten, das sich zur konkreten Darstellung von Brüchen eignet. Damit hoffe ich, interne Repräsentationen von Brüchen anzubahnen.

Auch der Psychologe Jerome Bruner legt ein Entwicklungsmodell vor. „Die Entwicklung erfolgt nach BRUNER in drei Stufen, wobei mit zunehmendem Alter und mit zunehmender Erfahrung das symbolische System die Vorherrschaft gewinnt, die anderen Systeme aber weiterhin verwendet werden:

- Enaktive Stufe (Das Kind begreift seine Umwelt über den handelnden Umgang mit ihr);
- Ikonische Stufe (Bildhafte Vorstellungen sind der Informationsträger; das Kind ist Gefangener seiner Wahrnehmungen) und
- Symbolische Stufe (Symbolsysteme ersetzen das Handeln ohne Denken und das an die Wahrnehmung gebundene Verständnis; Sprache, Logik und Mathematik spielen nun eine Rolle).“^[13]

Da alle drei Stufen zum Begreifen neuer Inhalte für die Schülerinnen und Schüler wichtig sind, werde ich in der Unterrichtseinheit darauf Wert legen, dass für jede der drei Stufen entsprechendes Material zur Verfügung steht.

3.2 Lernen, Lernwege und Motivation

Die Schülerinnen und Schüler sollen ihre Lernwege zum Bruchbegriff dokumentieren. Dies setzt voraus, dass sie überhaupt etwas lernen. Doch was ist eigentlich Lernen ?

„Lernen ist eine Art Informationsverarbeitung. (...) Insbesondere wenn zu erwerbende Inhalte in vorhandene Schemata eingeordnet werden können, wird der Wissenserwerb erleichtert.“^[14]

Für die Einführung des Bruchbegriffs bedeutet es, dass die Schülerinnen und Schüler Anknüpfungspunkte für den neuen Zahlbereich finden und darstellen sollen. Dafür eignet sich beispielsweise der schon aus dem Bereich der natürlichen Zahlen vertraute Zahlenstrahl. Dieser sollte also Teil der Unterrichtseinheit sein.

Zur Organisation des Lernvorgangs schreibt der Entwicklungspsychologe Renkl: „Der Lernende soll zu aktiver Auseinandersetzung mit dem Lernstoff angeregt werden und dabei instruktionale Unterstützung erfahren. Diese Philosophie spiegelt sich beispielsweise im Begriff des gelenkten Entdeckens („guided discovery“) wieder [sic!] , mit dem im Rahmen der Diskussion zum entdeckenden Lernen einerseits die Bedeutung der Eigenaktivität der Lernenden, andererseits aber auch die Notwendigkeit der Unterstützung unterstrichen werden soll.“^[15]

Daraus folgere ich für die geplante Unterrichtseinheit, dass von mir zwar ein Rahmen vorgegeben wird, die Schülerinnen und Schüler selbst diesen aber füllen sollen. Sie erhalten Aufgaben, die so offen sind, dass sie selbst in aktive Auseinandersetzung mit dem Bruchbegriff treten müssen.

Dabei erhalten sie Unterstützung in Form von Rückmeldungskommentaren und natürlich dem Zugang zu verschiedenem Material.

Der Begriff „ Lernwege “ wird unterschiedlich verwendet^[16]. Ich formuliere daher meine eigene Arbeitsdefinition:

Lernwege sind die vollzogenen Denkprozesse und Handlungen, die zu einer neuen Kompetenz führen oder eine Kompetenz vertiefen.

In der geplanten Unterrichtseinheit wird es darum gehen, dass die Schülerinnen und Schüler ihre Lernwege dokumentieren. Das Ziel der Dokumentation von Lernwegen ist die Bewusstwerdung der Schülerinnen und Schüler über ihren Lernprozess. Dadurch möchte ich erreichen, dass sich das Erlernte an schon vorhandenes Wissen und bereits bestehende Strukturen im Gehirn anschließt, damit Gelerntes besser gespeichert werden kann. Feuser schreibt dazu: „Durch die Reflexion des Lernprozesses – ergänzt durch Gespräche mit der Lehrkraft und den Mitschülerinnen und Mitschülern – wird das neu erworbene Wissen strukturiert und in bestehendes Wissen integriert.“^[17]

Daher wird mit der Dokumentation des Lernweges, die im Portfolio erfolgen soll, das neu erworbene Wissen über Brüche strukturiert und an vorhandenes Wissen angeknüpft. Aus einmal gegangenen Lernwegen sollen schließlich erneut abrufbare Denkprozesse und Handlungen werden, die so durchdacht sind, dass sie wiederholt werden können oder auf ähnliche Probleme übertragen werden können (Transfer).

Zur Motivation, etwas neues zu lernen, schreibt Bruner: „Idealerweise ist das Interesse für die zu lernenden Inhalte der beste Impuls für das Lernen, besser als externale Ziele wie Noten oder späterer Wettbewerbsvorteil.“^[18] „Motive für das Lernen müssen (...) so weit wie möglich im Erwecken von Interesse für die Lerninhalte begründet sein, und sie müssen breit und unterschiedlich im Ausdruck sein.“^[19]

Daher werde ich zu Beginn der Unterrichtseinheit deutlich machen, wie wichtig der Umgang mit gebrochenen Zahlen ist, da damit z.B. Divisionen wie 10 : 4 möglich werden oder wir angeben können, welcher Anteil Kirschsaft im Kirsch-Banane-Saft enthalten ist. Um Interesse für die Lerninhalte zu wecken finde ich es wichtig, in der Erarbeitung des Bruchbegriffs die Kinder selbstbestimmt lernen zu lassen. Ich verstehe darunter, dass sie in ihrem Portfolio eigene Lernwege finden und Lern- und Problemlösungsstrategien ausprobieren.

Folgende Forderungen an gelingendes Lernen leite ich also zusammengefasst aus den Erkenntnissen der Lernpsychologie ab:

- Anknüpfungspunkte aus bereits bekannten Inhalten sind zu nutzen
- Lernwege sind zu dokumentieren, um Denkprozesse und Handlungen nachvollziehen, wiederholen und transferieren zu können
- die Schülerinnen und Schüler sollen sich mit dem Lehrstoff aktiv auseinandersetzen, sie bekommen Anleitung statt bloßer Unterweisung
- Inhalte und Ziele werden transparent und nachvollziehbar dargestellt, um die Motivation zu wecken

3.3 Die Behandlung von Bruchzahlen in der Schule auf Grundlage der Bildungsstandards und des Rahmenlehrplans Berlin

Die Behandlung der Bruchzahlen in der Schule ist immer wieder in der Diskussion, denn der Zahlbereich der gebrochenen Zahlen könnte alternativ nur über Dezimalzahlen erschlossen werden – auch sie erlauben Antworten auf die Frage, wie z. B. das Ergebnis der Rechnung 10 : 4 dargestellt werden kann.

Padberg wägt Pro- und Kontra-Argumente zur Behandlung der Bruchzahlen gegeneinander ab^[20], befürwortet aber letztlich die Behandlung der Bruchzahlen, da „Brüche im Vergleich zu Dezimalbrüchen eine größere Anschaulichkeit und Prägnanz [besitzen]. Ferner zeichnen sie sich durch ihre exakte Wertangabe im Vergleich zu periodischen oder längeren endlichen Dezimalbrüchen aus.“^[21]

Die Frage nach der Behandlung der Bruchzahlen und der Bruchrechnung in der Schule wird auch dadurch bejaht, dass es entsprechende Vorgaben in den Bildungsstandards der Kultusministerkonferenz (KMK) und speziell im Rahmenlehrplan Berlin gibt. Die KMK hat bisher Bildungsstandards für die Klasse 4, für den Hauptschulabschluss nach Klasse 9 und den mittleren Schulabschluss nach Klasse 10 verabschiedet. In den „Bildungsstandards im Fach Mathematik für den Mittleren Schulabschluss“ heißt es zur Leitidee Zahl:

„Die Schülerinnen und Schüler

- nutzen sinntragende Vorstellungen von rationalen Zahlen, insbesondere von natürlichen, ganzen und gebrochenen Zahlen entsprechend der Verwendungsnotwendigkeit, (...)
- begründen die Notwendigkeit von Zahlbereichserweiterungen an Beispielen“^[22]

Hier ist noch Gestaltungsspielraum für die Bundesländer gelassen worden. Die von der Kultusministerkonferenz im Sinne einer Output-Orientierung festgelegten Kompetenzen, die zu bestimmten Zeitpunkten von allen Schülerinnen und Schülern erworben sein müssen, werden im Rahmenlehrplan Berlin für das Ende der Klasse 6 konkretisiert. Dort wird unmissverständlich festgeschrieben, dass der Zahlbereich der gebrochenen Zahlen auch mit Bruchzahlen dargestellt wird. So heißt es dort z.B.: „Darstellungsformen für gebrochene Zahlen: Dezimalbruch, gemeiner Bruch, gemischte Zahl, Zehnerbruch “^[23], wobei nur die kursiv gedruckten Inhalte fakultativ sind.

Die inhaltlichen und prozessbezogenen Kompetenzen aus dem Rahmenlehrplan Berlin ordne ich in der Übersicht zur Unterrichtseinheit in Kapitel 4.2 „Der Ablauf der Unterrichtseinheit“ den einzelnen Stundeninhalten zu.

3.4 Aspekte der Bruchzahlen

In der Literatur findet man unterschiedliche Aufzählungen von Bruchzahlaspekten^[24]. Padberg fasst dies prägnant zusammen, indem er festhält: „Der Bruchzahlbegriff ist sehr komplex.“^[25]

In Zusammenfassung der Literatur stelle ich hier die gängigsten Aspekte dar:

- Größenaspekt: Der Bruch als Teil vom Ganzen

Eine feste Bezugsgröße bildet den Ausgangspunkt, ein Anteil daran wird als Bruch angegeben.

Beispiel:

Eine Pizza ist ein Ganzes. Davon wird Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten entnommen.

Der Größenaspekt ist auch angesprochen, wenn ein Anteil an mehreren Ganzen angegeben wird. Malle^[26] nennt dies den relativen Anteil.

Beispiel:

Zwei Pizzen sind ein Ganzes. Davon wird Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten entnommen.

- Maßzahlaspekt: Der Bruch als Anteil einer Größe

Dieser Aspekt ist aus dem täglichen Leben vertraut in Form von Alltagsbrüchen wie

„ein viertel Kilogramm“, „ein halber Liter Wasser“, „dreiviertel Stunde“.

Ich schließe hier auch den bei Padberg gesondert benannten Skalenwertaspekt, z.B. bei Tankfüllständen, mit ein; dort ist die Größe zwar nicht benannt, aber auf der Skala mit ablesbar. Dazu gehören auch Brüche am Zahlenstrahl. Sie werden nicht unmittelbar als Anteil einer Größe dargestellt, aber man kann den Zahlenstrahl als Repräsentant der Länge betrachten: Der Bruch Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten wird auf einem Drittel der Streckenlänge von 0 bis 1 abgetragen.

Beispiele:

Der Tank ist zu Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten mit Benzin gefüllt, die Waage zeigt gut 1Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten kg an und im Messbecher ist Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten l Milch.

- Operatoraspekt: Der Bruch als Rechenbefehl

Dabei wird der Nenner als Divisor, der Zähler anschließend als Faktor betrachtet.

Beispiel:

Der Bruch Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten bedeutet:

„Teile ein Ganzes in vier gleich große Teile (: 4) und nimm drei von diesen Teilen (• 3).“

- Verhältnis- oder Quotientenaspekt: Der Bruch als Verhältnis

Bekannt ist dieser Aspekt zum Beispiel von Torverhältnissen in der Fußballbundesliga: Das Verhältnis von Treffern zu Gegentreffern wird z.B. als 63:25 geschrieben und ist damit nichts anderes als eine Bruchzahl als Resultat einer Division.^[27] Auch das Verhältnis von Saftmischungen (1 Teil Bananensaft zu 3 Teilen Kirschsaft) oder Körperproportionen gehören zu diesem Aspekt.

Beispiel: „David“, die berühmte Statue von Michelangelo, hat Körperproportionen von Kopf zu Oberkörper zu Unterkörper zu Fuß von 1:3:3:1.

Als brauchbarste Aspekte beschreibt Padberg den Größen- und den Maßzahlaspekt:

„Für den Aufbau der Bruch rechnung ist neben dem als Fundament erforderlichen Aspekt Teil vom Ganzen der Maßzahlaspekt am besten brauchbar (...) Dieser Aspekt spielt bei der Anwendung von Brüchen im täglichen Leben die größte Rolle und stellt daher eine gute Verbindung zum Vorwissen der Schüler her.“^[28] (Hervorhebungen im Original)

Aus diesem Grund werde ich im Unterricht das Hauptgewicht auf den Größen- und den Maßzahlaspekt legen, mich aber nicht nur auf diese Aspekte beschränken.

3.5 Einführung von Begriffen im Mathematikunterricht

Um eine Vorstellung von Brüchen zu entwickeln, muss zunächst der Begriff entwickelt werden. Begriffe sind anders als Worte auch eine semantische, also bedeutungstragende Einheit. Sie werden geistig repräsentiert. Begriffsbildung ist die Bezeichnung eines Gegenstandes mit Wissen um seinen Bedeutungsinhalt.^[29]

Es gibt zwei Hauptwege zur Einführung neuer Begriffe: „Begriffsbildung ist in Form von Induktion (vom einzelnen ausgehend) oder durch Deduktion (vom Übergeordneten ausgehend) möglich.“^[30]

Im Mathematikunterricht sind beide Wege möglich. In der Unterrichtseinheit „Darstellen von Brüchen“ entscheide ich mich für den induktiven Weg, da einzelne Beispiele schon aus der Umwelt der Schülerinnen und Schüler bekannt sind und gute Anknüpfungspunkte bieten. Gleichzeitig ist der Bruchbegriff in seinen vielen Aspekten zu komplex, um ihn zum Ausgangspunkt einer deduktiven Begriffsbildung zu machen.

Die Schritte, in die der induktive Weg gegliedert ist, sowie ihre konkrete Anwendung stelle ich in Kapitel 4.3 „Bruchvorstellungen und Begriffsbildung“ dar.

Franke fasst die Entwicklung des Begriffsverständnisses in Bezug auf die Geometrie in vier Stufen zusammen^[31]. Mir erscheinen diese Stufen auch für die Bruchrechnung fruchtbar, daher übernehme ich die Bezeichnungen und beziehe sie im folgenden auf die Bruchrechnung.

1. Intuitives Begriffsverständnis

Die Kinder kennen das Wort „Bruch“ aus unterschiedlichen Zusammenhängen im Alltag, z.B. Knochenbruch, Glasbruch, Vulkanausbruch, Wolkenbruch,... Mit diesen Zusammenhängen verknüpft sich kein mathematischer Inhalt, nur teilweise kann man im Sinne von „Anteile, Zerfall in Einzelteile“ einen Bezug zur mathematischen Bedeutung herstellen.

Darstellungen von Bruchzahlen kennen die Schülerinnen und Schüler in der Regel im Zusammenhang mit Größen; Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten Meter, Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten Kilogramm oder Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten Stunde sind ihnen aus der Umgangssprache geläufig, ohne dass Anteile thematisiert werden.

Im Bereich der Operationen ist ihnen implizit bewusst, dass z.B. zwei Brötchenhälften ein ganzes Brötchen ergeben oder vier Viertelstunden eine volle Stunde.

2. Inhaltliches Begriffsverständnis

Die Eigenschaften des Bruchbegriffs werden im Sinne einer Zuordnung von Zahlen als Brüche oder Nicht-Brüche (natürliche Zahlen) erfasst. Die Bestandteile einer Bruchzahl mit Zähler, Bruchstrich und Nenner sind bekannt. Bisher nicht verwendete Zähler und Nenner können unter Beibehaltung des Aufbaus einer Bruchzahl eingesetzt und als Zeichnung dargestellt werden.

3. Integriertes Begriffsverständnis

Die Beziehungen zwischen Bruchzahlen und anderen Zahldarstellungen wie Dezimalzahlen oder natürlichen Zahlen werden erfasst. In Abgrenzung und Übereinstimmung zu anderen Begriffen wird hier der eigentliche Bruchzahlbegriff erfasst. Die Schwierigkeit des Bruchbegriffs liegt in den verschiedenen Aspekten. Diese vollständig zu überblicken ist erst Bestandteil der 4. Stufe.

4. Formales Begriffsverständnis

Der Begriff kann nun in verschiedenen Aspekten überblickt werden. In Bezug auf den Bruchzahlbegriff kann beispielsweise der Anteil Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthaltenauf ein Ganzes oder auf mehrere Ganze bezogen werden, auf Größen, auf das Mischungsverhältnis 3:4 oder auf die Rechenoperation „: 4 • 3“.

Unter Einbezug der Erkenntnisse und Forderungen aus der Mathematikdidaktik, Bildungsstandards und Rahmenlehrplan, Entwicklungs- und Lernpsychologie erfolgt nun die Planung und Durchführung der Unterrichtseinheit.

[...]

^[1] Inglin, Oswald auf www.portfolio-schule.de, abgerufen am 18.4.2011

^[2] Inglin, Oswald auf www.portfolio-schule.de, abgerufen am 18.4.2011

^[3] Endres, Wolfgang (Hrsg.): Das Portfolio in der Unterrichtspraxis. Präsentations-, Lernweg- und Bewerbungsportfolio, Weinheim und Basel 2008, S.14

^[4] Schmidinger, Elfriede: Das Portfoliokonzept im Unterricht.Eine Einführung in den Themenschwerpunkt, in: Erziehung und Unterricht, 5-6/ 2007, S. 368f

^[5] ebenda

^[6] zu folgendem Abschnitt vgl. Werner, Gunther: Faire Noten mit Portfolioarbeit, Lichtenau 2006, S. 31; Bartnitzky, Jens; Freitag, Heike u.a.: Handreichung Mein Lernordner Portfolio für die Grundschule, Braunschweig 2006, S. 6ff;

Endres, Wolfgang (Hrsg.): Das Portfolio in der Unterrichtspraxis. Präsentations-, Lernweg- und Bewerbungsportfolio, Weinheim und Basel 2008, S. 10ff

^[7] Bartnitzky, Jens; Freitag, Heike u.a.: Handreichung Mein Lernordner Portfolio für die Grundschule, Braunschweig 2006, S. 13

^[8] Endres, Wolfgang (Hrsg.): Das Portfolio in der Unterrichtspraxis. Präsentations-, Lernweg- und Bewerbungsportfolio, Weinheim und Basel 2008, S. 13

^[9] Vierlinger, Rupert: Plädoyer für die Abschaffung der Ziffernnoten; in: erziehung heute, Heft 3, 1998

^[10] Bohl, Thorsten: Prüfen und Bewerten im Offenen Unterricht, Weinheim und Basel 2004, S. 151

^[11] Gubler-Beck, Annemarie: Portfolios im Mathematikunterricht, in: Beiträge zum Mathematikunterricht, Hildesheim und Berlin 2005, S. 48

^[12] Gage, N.L. & Berliner, D.C., Pädagogische Psychologie, Weinheim und München 1994, S. 121

^[13] Gage, N.L. & Berliner, D.C., Pädagogische Psychologie, Weinheim und München 1994, S. 125

^[14] Renkl, Alexander: Lehren und Lernen, in: Tippelt, Rudolf; Schmidt, Bernhardt (Hrsg.): Handbuch Bildungsforschung, Wiesbaden 2010, S.740

^[15] Renkl, Alexander: Lehren und Lernen, in: Tippelt, Rudolf; Schmidt, Bernhardt (Hrsg.): Handbuch Bildungsforschung, Wiesbaden 2010, S.742

^[16] vgl. Klippert, Heinz: Methoden-Training, Weinheim und Basel 2007, S. 200

^[17] Feuser, Matthias: Lernwege und Lernerfolge dokumentieren, in: E& W Niedersachsen,6-7/2005, S. 12

^[18] Bruner, Jerome: The process of education, Harvard 1960, S. 14, eigene Übersetzung

^[19] Bruner, Jerome: The process of education, Harvard 1960, S. 80, eigene Übersetzung

^[20] vgl. Padberg, Friedhelm: Didaktik der Bruchrechnung für Lehrerausbildung und Lehrerfortbildung, Heidelberg 2009, S.1ff

^[21] ebenda, S.6

^[22] Beschlüsse der KMK: Bildungsstandards im Fach Mathematik für den Mittleren Schulabschluss, Beschluss vom 4.12.2003, S. 10

^[23] Rahmenlehrplan Grundschule Mathematik, Berlin 2004, S. 40

^[24] vgl. Bauer, Ludwig: Wie übt man Bruchrechnen?, in: lernchancen 61/62, 2008 Hefendehl-Hebeker, Lisa: Brüche haben viele Gesichter, in: mathematik lehren Heft 78; Malle, Günther: Grundvorstellungen zu Bruchzahlen, in: mathematik lehren Heft 123 Padberg, Friedhelm: Didaktik der Bruchrechnung für Lehrerausbildung und Lehrerfortbildung, Heidelberg 2009, S. 29ff;

^[25] Padberg, Friedhelm: Didaktik der Bruchrechnung für Lehrerausbildung und Lehrerfortbildung, Heidelberg 2009, S. 29

^[26] vgl. Malle, Günther: Grundvorstellungen zu Bruchzahlen, in: mathematik lehren Heft 123, S. 4

^[27] In diesem Fall handelt es sich um das günstige Torverhältnis von Hertha BSC am 21.4.2011. Damit ist der Aufstieg von der zweiten in die erste Bundesliga für die nächste Saison gesichert.

^[28] vgl. Padberg, Friedhelm: Didaktik der Bruchrechnung für Lehrerausbildung und Lehrerfortbildung, Heidelberg 2009, S. 31

^[29] vgl. Maras, Rainer u.a.: Handbuch für die Unterrichtsgestaltung in der Grundschule, Donauwörth 2008, S. 64

^[30] Maras, Rainer u.a.: Handbuch für die Unterrichtsgestaltung in der Grundschule, Donauwörth 2008, S. 64

^[31] Franke, Marianne: Didaktik der Geometrie, Heidelberg, Berlin 2000, S. 90f